（３つのグラフの交差点の重なりの有無の判定問題）
【問】
以下の３つの式であらわされる３つのグラフの全てが通る点が存在するか否かを判定せよ。
【問題の趣旨】
この問題のグラフは以下のグラフです。
このようにグラフを描くと３つのグラフ全てが通る点が１つあるらしいことがわかります。
この問題は、問題を研究するために易しくしたので種々の方法で解けます。
ここでは、この問題を、以下で説明する、
「２変数の３つの方程式の互除法」
を使って解きます。
【問】
以下の３つの式であらわされる３つのグラフの全てが通る点が存在するか否かを判定せよ。
【問題の趣旨】
この問題のグラフは以下のグラフです。
この問題は、問題を研究するために易しくしたので種々の方法で解けます。
ここでは、この問題を、以下で説明する、
「２変数の３つの方程式の互除法」
を使って解きます。
「２変数の３つの方程式の互除法」
を使うと、
方程式の次数をさほど上げないままで計算する楽な計算により、共通解の有無を判定することができます。
【解答】
先ず、方程式同士を引き算して以下の式４を作ります。
この式４は、他の方程式に足し合わせて、他の方程式に含まれる２次の項ｘｙを、ｘとｙの１次の項の和に変換する道具として使います。
次に、以下の式５を作ります。
この式５は、他の方程式に足し合わせて、他の方程式に含まれる２次の項ｘの２乗を、ｘとｙの１次の項の和に変換する道具として使います。
この式６は、他の方程式に足し合わせて、他の方程式に含まれる２次の項ｙの２乗を、ｘとｙの１次の項の和に変換する道具として使います。
また、方程式４、５、６の３つは、元の式１、２、３を置き換えた式の組であって、式１、２、３で解ける問題は、式４，５，６で解けます。
次に、この式４，５，６に含まれる２次の項も、式同士を引き算して次数を下げます。その次数の下げ方は、以下の技術を使います。
式４にｘを掛け算した式を作ると、その式は、式４，５，６が適用できる式に変わるので、以下の互除法によって、式の次数を下げることができます。
こうして、式４，５，６を使った互除法で式の次数を下げて１次式９が得られました。
式４，５，６の組を置き換える他の１次式を、
この式９にｘを掛け算した式に、式４，５，６を使った互除法を適用することで作ります。
更に式９にｙを掛け算した式に、式４，５，６を使った互除法を適用することでもう１つの１次式を作ります。
この３つの式９、１１、１３の共通解が、 元の式１，２，３の共通解です。この３つの式のグラフは以下の図のようになります。
式９、１１、１３の解を求めると、以下の通り計算でき、３つの式に共通する解があります。
このように、式９、１１、１３は共通の解を持ち、
それは、式１，２，３の共通の解です。
（解答おわり）
次に、以下の式６を作ります。
また、方程式４、５、６の３つは、元の式１、２、３を置き換えた式の組であって、式１、２、３で解ける問題は、式４，５，６で解けます。
式４にｘを掛け算した式を作ると、その式は、式４，５，６が適用できる式に変わるので、以下の互除法によって、式の次数を下げることができます。
式４，５，６の組を置き換える他の１次式を、
この式９にｘを掛け算した式に、式４，５，６を使った互除法を適用することで作ります。
こうして、式４，５，６を置き換える３つの１次式の組が作れました。この３つの式は、式１，２，３の次数を１つ下げた式の組です。
この３つの式９、１１、１３の共通解が、 元の式１，２，３の共通解です。この３つの式のグラフは以下の図のようになります。
それは、式１，２，３の共通の解です。
（解答おわり）
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