2017年9月6日水曜日

長さの等しいベクトルの張る2重平行四辺形の面積の公式

ベクトルA(a,a)とB(b,b)の張る平行四辺形の面積Sの公式は、
S=a-a
で計算する公式が知られています。
 この公式は思い出すのに少し時間がかかるし、何となく使いにくい感じがして、今一つ使いにくい公式のように感じました。
 これに替わる、もっと楽に使えそうな公式がないかを考えました。 

 その結果、以下の、「長さの等しいベクトルAとBの張る2重平行四辺形の面積の公式」(後の式1から3)が導き出せました。
 このような公式もあることが分かったので、この公式も速やかに導き出すことができるように、以下の公式の導き出し方を覚えてしまいましょう。

上の図で、長さの等しいベクトルAとBの張る2重平行四辺形の面積Sは、以下の式で計算できる。
よって、以下の式が成り立つ。
この式が成り立つ理由は、|A|=|B|の場合にベクトルCDとベクトルCFが直交するからです。
式1および式2は、Sの正負が反映されている公式です。
式3は、Sの絶対値をあらわす公式です。

(補足)
 以上の公式は、図から求めることができた。
それらの公式のうち、式2の公式を、以下では、式を展開することで証明する。

(証明おわり)

(第2の証明)
 式3の公式は、以下の図の様に、ベクトルaとベクトルbに垂直なベクトルuとベクトルwを使って証明することもできます。
これにより、以下の計算ができます。
 この結果は式3の結果をあらわしている。
(証明おわり)

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