ベクトルａに直交するベクトルの作り方

以下の図に、ベクトルａを左回りに９０度回転したベクトルａ_ｖを作る方法を考えます。

上図のように、ベクトルのｘ成分とｙ成分を入れ替えて、片方の成分をマイナス１倍にすれば、元のベクトルに直交するベクトルが作れます。

（補足）
ベクトルａを反時計回りに９０度回転したベクトルａ_ｖ＝ｆを、
更に反時計回りに９０度回転したベクトルｆ_ｖは－ａになる。

このベクトルａ_ｖを、ベクトルａに直交しないベクトルｂとｃであらわせる以下の公式があります。

このベクトルがベクトａに直交する事は、以下の内積の計算で確認できます。

 また、ベクトルａ_ｖを、ベクトルｂとｃであらわせる以下の公式も成り立つ。

係数ｋは以下の計算で求められる。

この式において、左辺の、ベクトルａを９０°回転したベクトルを表わす式の右辺に、ベクトルｃを９０°回転したベクトルが含まれているので、求めるべき９０°回転したベクトルを式の右辺に含んでいるので、９０°回転したベクトルを求める役に立たない式のように見えるかもいるかもしれません。しかし、この式の右辺にある、ベクトルｃを９０°回転したベクトルとベクトルｂの内積は下図のように、ベクトルｂとベクトルｃで囲まれる三角形の面積Ｓの２倍という普遍的な定数を表す式です。その三角形の面積Ｓは下図の式のように、他の形で表すこともできる普遍的な定数です。上の式は、その三角形の面積Ｓを右辺に使った式なので計算の役にたちます。


上記の式において、特に、そのベクトルｃがベクトルａに等しい特別な場合は、上記の式は以下の式になる。

根号を含む上記の式は、ベクトルａとベクトルｂの張る三角形の面積Ｓの符号が正の場合の式です。面積Ｓが負の場合は、根号の前にマイナス符号が付きます。

以下の式は、ベクトルｂのベクトルａへの垂直ベクトルの公式である。


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