微分積分の難関大学の入試問題

以下の、
京都大学の微分積分の入試問題の解説が参考になると思う。

京都大学 文系 2014年度 第2問
【問題】
t を実数とする。 y=x³−x
のグラフ C へ点 P(1,t) から接線を引く。
(1) 接線がちょうど1本だけ引けるような t の範囲を求めよ。
(2) t が(1)で求めた範囲を動くとき、 P(1,t) から C へ引いた接線と C で囲まれた部分の面積を S(t) とする。
S(t) の取りうる値の範囲を求めよ。

 

(1)の解き方の考え方：

P(1,t)を通る式

y-t=k(x-1),  ①

与えられた３次関数にx=uで接する式

k=3u^2-1,　②

u^3-u-t=k(u-1),　③

式②と③を連立して考え始めると良いと思う。

先ずは手を動かして考える。

②を③に代入してｋを消去してみる。

u^3-u-t=(3u^2-1)(u-1),

uに関する３次式が得られることがわかる。

u^3-u-t=3u^3-u-3u^2+1,

0=2u^3-3u^2+1+t,　④

式④の実数解が３つあれば、接点が３つあることを意味することになると考える。

式④の実数解がただ１つのみあれば接点が１つのみあるだろうと考え、計算の見通しを立てる。

式④のグラフがどのような形をしているかを把握して計算の見通しを良くしようと考える。

式④の右辺をf(u)とおいてみる。

f'(u)=6u^2-6u=6u(u-1),

を考える。

f(u)のグラフの傾きは、

0<u<1, では負になり、その外側に領域では正であり、

境界点では傾きが０となる、

蛇行しているグラフになると把握できた。

ここまで解析できたら、(1)は解けそうである。

「なかけんの数学ノート」（ここをクリックした先）にも、この問題の解説がある。その解説も参考になると思う。

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