対称性を用いた定積分

《関数を左右対称な関数に変換する》
 定積分の[0→b]の範囲で関数f(x)を積分するとき、
その範囲の関数f(x)を、
その積分範囲で、
（１）左右対称な関数の成分w(x)と、
（２）左右で関数値の正と負が反対の関数の成分
とが足しあわされた関数と考えます。
「（２）左右で関数値の正と負が反対の関数の成分」
については、その積分範囲で足すと値が０になります。
結局、その積分範囲で、
「（１）左右対称な関数の成分w(x)」
だけを積分すれば良い
という問題に問題が変換されます。

その問題の変換を行うのが、
x＝b-t と置換して得た関数g(t)=f(b-t)と、
その置換を行う前の関数f(x)との和の関数
w(x)=(f(x)+g(x) )/2
=(f(x)+f(b-x))/2
を求めるという作業です。

その積分範囲で、
（１）左右対称な関数の成分w(x)
だけの関数の方が簡単な関数になるので、
定積分の問題が解きやすくなります。


【問１】f(x)を連続関数とすると、

が成り立つことを示せ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。
この問題を自力で解いた後で、解答ページも見てください。種々の解答方法を書きましたので参考になると思います。

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