【問題１】
「数学Ⅰ・A入門問題精講」の２０２ページ
応用問題４(1)
問題①、9人を3人ずつ ３つの部屋A,B,Cに分ける方法は何通りあるか。
【解答】
入門問題精講の説明する「１対１対応」の概念は、不完全であり、この問題を解く指針としては不適切である。
問題が含む事象に「１対１対応させた」事象の連鎖が明確に把握できなければ、問題を他の問題に置き換えられない。この問題①の事象の連鎖を、以下のように、事象の根元までさかのぼって把握することで、初めて、この問題①のその根元事象と１対１に対応する根元事象を持つ問題②に問題①を置き換えることができる。そうして、問題①の事象の連鎖を問題②の事象の連鎖に１対１に対応させて問題を①から②に置き換えて、置き換えた問題②を解くことができるのである。
「問題①、9人を3人ずつ ３つの部屋A,B,Cに分ける方法は何通りあるか。」
この問題①の根元事象を、
（A部屋1人目,A部屋2人目,A部屋3人目,B部屋1人目,B部屋2人目,B部屋3人目,C部屋1人目,C部屋2人目,C部屋3人目)
という事象の連鎖に「１対１に対応させて」把握する。
（注意）
「複数の玉を同時に取り出す確率の問題とコンビネーションを用いて良い定理」のサイトの結論により、「同時に」人を選ぶ問題であっても、時間差をもうけて「順番に」人を選ぶ問題と考えて、事象の連鎖を、人を順番に選んだ事象の連鎖というわかり易い根元の事象の連鎖であらわして解くのが良い。その方針に従って、上記の事象の連鎖を考えるのである。
（注意おわり）
この事象の連鎖の集合に対しては、
以下の操作が必要であることがはっきりと把握できる。
A部屋1人目,A部屋2人目,A部屋3人目
の３人が変わらない、「何人目」であるかだけが変わったあらゆるバラエティの事象の連鎖は、同じ１つの分け方であるとみなして１つのグループと数える。
「このように区別した、異なる分け方のグループの数はいくつあるか」という問題なのである。
この様に問題を解析して、事象の連鎖を定義する。
そのように定義された事象の連鎖は、
「問題②、9人を順番に並べる。その順列の先頭から3人ずつ を仕切りで区切って（仕切りは２つある）３つのグループに分ける。
その仕切りで区切られた３人のメンバーが同じであれば、その３人の並び方は同じ１つの並び方であると数えることにする。」
という問題②の、
「９人を順番に並べる。その順列の先頭から3人ずつ を仕切りで区切って３つのグループに分ける。」
という９人を並べる事象の連鎖と、
「１対１に対応する」。
そして、問題①における、
「以下の操作が必要である。
A部屋1人目,A部屋2人目,A部屋3人目
の３人が変わらない、「何人目」であるかだけが変わったあらゆるバラエティの事象の連鎖は、同じ１つの分け方であるとみなして１つのグループと数える。」
という操作が、
問題②における、
「その仕切りで区切られた３人のメンバーが同じであれば、その３人の並び方は同じ１つの並び方であると数えることにする。」
に対応するのである。
そのため、問題①の、異なる分け方の数は、問題②の数え方での異なる並び方の数を以下の式で数える、ことで求めることができる。
（解答おわり）
【問題２】
赤玉３個、白玉３個、黒玉３個の合わせて９個の玉が入っている袋から、順番に９個の玉を全部取り出して一列に並べる。この操作で並べる玉の配置で、玉の色が作る色模様が異なる玉の配置は何種類あるか。
【解１】
問題２の事象の連鎖を、 (玉名,配置順)の組み合わせにおいて、玉の配置順の１つ目から９つ目までの玉名を列記した事象の連鎖の：
（1つ目の玉名,２つ目の玉名,３つ目の玉名,４つ目の玉名,５つ目の玉名,６つ目の玉名,７つ目の玉名,８つ目の玉名,９つ目の玉名)
であらわす。
その事象の連鎖の数は９！個ある。
ここで、玉の順列の１つの色模様を構成する、玉の順列のバラエティは、
(1) 色模様の３か所の赤玉を３つの玉で構成するバラエティの数３！と、
(2) 色模様の３か所の白玉を３つの玉で構成するバラエティの数３！と、
(3) 色模様の３か所の黒玉を３つの玉で構成するバラエティの数３！と、
の積の(３！)(３！)(３！)
がある。
そのため、
玉の配置の、異なる色模様の数は、
(９！)／{(３！)(３！)(３！)}
ある。
（解１おわり）
【解２】
以下に玉名を定義する
赤玉１＝玉１とする。
赤玉２＝玉２とする。
赤玉３＝玉３、
白玉１＝玉４、
白玉２＝玉５、
白玉３＝玉６、
黒玉１＝玉７、
黒玉２＝玉８、
黒玉３＝玉９とする。
解２の事象の連鎖を、 (玉名,配置順)の組み合わせにおいて、玉１から玉９までの玉の配置順を列記した、
（玉１の配置順，玉２の配置順，玉３の配置順，玉４の配置順，玉５の配置順，玉６の配置順，玉７の配置順，玉８の配置順，玉９の配置順)
という事象の連鎖であらわす。
その事象の連鎖の数は９！個あり、それらが、解１の事象の連鎖と１対１で対応している。
３つの赤玉に係る、配置順の集合が同じで、その集合の要素の順番だけが変わったあらゆるバラエティ(３！)の事象の連鎖は、同じ１つの色模様をあらわす。
３つの白玉に係る、配置順の集合が同じで、その集合の要素の順番だけが変わったあらゆるバラエティ(３！)の事象の連鎖は、同じ１つの色模様をあらわす。
３つの黒玉に係る、配置順の集合が同じで、その集合の要素の順番だけが変わったあらゆるバラエティ(３！)の事象の連鎖は、同じ１つの色模様をあらわす。
そのため、
玉の配置の、異なる色模様の数は、
(９！)／{(３！)(３！)(３！)}
ある。
（解２おわり）
【問題３】
９人を順次に、ｘ部屋，ｙ部屋，ｚ部屋のどれかの部屋に入れる。
その場合に、ｘ部屋に３人，ｙ部屋に３人，ｚ部屋に３人が入る場合は、何通りあるか。
【解答】
９人を順次に、ｘ部屋，ｙ部屋，ｚ部屋のどれかの部屋に入れる事象の連鎖は、
(１人目,２人目,３人目,４人目,５人目,６人目,７人目,８人目,９人目)
であらわせる。具体的には、
（ｘ，ｙ，ｚ，ｘ，ｙ，ｚ，ｘ，ｙ，ｚ)
等の事象の連鎖であらわすことができる。
この事象の連鎖は、問題１の問題②における９人を並べる事象の連鎖を含む。
この事象の連鎖のうち、ｘが３個あり、ｙが３個あり、ｚが３個ある事象の連鎖が、問題②における９人を並べる事象の連鎖と、「１対１に対応する」。
〘問題を俯瞰する〙
１人目がｘ，ｙ，ｚのどれかに入るバラエティを、ｘ＋ｙ＋ｚであらわし、９人が、ｘ部屋，ｙ部屋，ｚ部屋のどれかに入るあらゆるバラエティを、その項の９乗であらわした以下の式で計算する。
この式の項のうち、ｘ部屋に３人，ｙ部屋に３人，ｚ部屋に３人が入るバラエティの数は、
の項の係数になることがわかる。なぜならば、その項の係数は、そうなる事象の連鎖の数をあらわす。その事象の連鎖の数がその項が生み出されるあらゆるバラエティの数をあらわすからである。その項の係数は、ｘが３乗でｙが３乗でｚが３乗になるあらゆるバラエティの数である。
〘問題の俯瞰おわり〙
そのバラエティの数は、ｘが３個あり、ｙが３個あり、ｚが３個ある事象の連鎖の数であり、その数は、
(１人目,２人目,３人目,４人目,５人目,６人目,７人目,８人目,９人目)
の事象の連鎖において、
（９人のうちｘとなる３人を選ぶ組み合わせの数）×（残り６人のうちｙとなる３人を選ぶ組み合わせの数）
で計算でき、 以下の式で求められる。
（解答おわり）
《柔軟に発想して問題の事象を種々のものに対応させるべし》
【問題３】では、
（ｘ部屋に入る or ｙ部屋に入る or ｚ部屋に入る）
という事象を、
（ｘ＋ｙ＋ｚ）
に対応させた。
「～ or ～」という関係を「ｘ＋ｙ＋ｚ」という式の「＋」に対応させた。
ｘ部屋に３人入りｙ部屋に３人入りｚ部屋に３人入る事象を、(ｘの３乗)掛ける(ｙの３乗)掛ける(ｚの３乗)、に対応させた。それ以外に可能な事象を「＋」で結んだ項に対応させた。
問題があらわす「事象」を異なる表現の「事象」に対応させて問題を置き換えて考えることが、「場合の数」の問題を解くために大切な心がけです。
〘覚えておこう〙なお、ここをクリックした先のサイトの「組分け問題全パターン」は覚えておきましょう。
《公式メモ（以下の行をクリック）》
▷組分けの数の公式
▷同じものを含む順列の数の公式
リンク：場合の数と確率
リンク：高校数学の目次
