【ベクトルの外積同士の内積の公式の証明（その１）】
ベクトルの外積同士の内積を変換する以下の公式があります。
（公式の証明（その１）おわり）
この式１の公式は、以下の計算のように、２つのベクトルａ，ｂの外積の大きさが、その２つのベクトルａ，ｂの大きさの積と、ベクトルａとｂの成す角θのsin(θ)との積であるという公式を満足する。
この計算によって、式１が検算できる。
《べクトルの外積同士の内積の公式の証明（その２）》
この公式は、以下の様にして段階的に証明することができます。
先ず、以下の図の様に、XYZの３次元座標系の各座標軸方向の単位ベクトルX,Y,Zを考える。
この座標系で、以下の式が成り立つ。
この式が成り立つので、この式の対称性を守ってＸＹＺを交換した以下の式も成り立つ。
これらの式が成り立つので、以下の式が成り立つ。
この式が成り立つので、この式の対称性を守ってＸＹＺを交換した以下の式も成り立つ。
これらの式が成り立つので、以下の式が成り立つ。
この式が成り立つので、この式の対称性を守ってＸＹＺを交換した以下の式も成り立つ。
これらの式が成り立つので、以下の式が成り立つ。
（公式の証明（その２）おわり）
《ベクトルの外積同士の内積の公式の証明（その３）》
この公式は、ベクトルｈを用いて以下の様に計算して証明することもできます。
下図のように、ベクトルＡとベクトルＢの外積を単位ベクトルｈを使って表し、直交ベクトル系ｈとａとａvを定義する。
そして、公式の左辺の式を、以下の様にベクトルＣとベクトルＤをベクトルｈとベクトルａとベクトルａvであらわして計算する。
次に、公式の右辺の式を、ベクトルＣとベクトルＤをベクトルｈとベクトルＡとベクトルＢであらわして計算する。
式１１と式１２の値が等しいので、以下の式が成り立つ。
（公式の証明（その３）おわり）
【公式の証明（その４）】
その３の証明とほとんど同じ証明ですが、以下の形の計算を行って証明することができます。
（１）ベクトルＡの方向の単位ベクトルをベクトルＸとする。
（２）ベクトルＡとベクトルＢの張る平面上のベクトルで、ベクトルＡに垂直な単位ベクトルをベクトルＹとする。
（３）ベクトルＸとベクトルＹの外積をベクトルＺとする。ベクトルＺは単位ベクトルになる。
直交ベクトル系、Ｘ，Ｙ，Ｚで、ベクトルＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄが以下の図のように表せる。
このとき、以下の式１が成り立つ。
また、以下の式２が成り立つ。
式１の値と式２の値が等しいので式３の関係が成り立つ。
（公式の証明（その４）おわり）
（補足）
外積したベクトルは、外積の形のままであらわした式の方が基本的な式になるように思います。
２次元ベクトルでは、２次元ベクトルａとｂを９０度回転したベクトルａｖとｂｖをベクトルａとｂで表すよりも、ベクトルａｖとｂｖのみで単純に表す方が優れた表現でした。
それと同様に、３次元ベクトルａ，ｂ，ｃでも、３次元ベクトルの外積をベクトルａとｂとｃで表すよりも、外積の形のままの式を使って計算する方が良いように思います。
その外積の形の式同士の内積は、「ベクトルの外積同士の内積の公式」を使って、ベクトルａ，ｂ，ｃの単純な内積であらわせますので、問題無いと思います。
また、「ベクトルの外積の３重積の公式」のページの、【ベクトルの外積同士の内積の公式】に、アインシュタインの縮約記法を使った、この公式の証明方法が書いてあります。
空間ベクトルの外積の公式は、ここをクリックした先のサイトのページが参考になります。
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《べクトルの外積同士の内積の公式の証明（その２）》
この公式は、以下の様にして段階的に証明することができます。
先ず、以下の図の様に、XYZの３次元座標系の各座標軸方向の単位ベクトルX,Y,Zを考える。
この座標系で、以下の式が成り立つ。
この式が成り立つので、この式の対称性を守ってＸＹＺを交換した以下の式も成り立つ。
これらの式が成り立つので、以下の式が成り立つ。
この式が成り立つので、この式の対称性を守ってＸＹＺを交換した以下の式も成り立つ。
これらの式が成り立つので、以下の式が成り立つ。
この式が成り立つので、この式の対称性を守ってＸＹＺを交換した以下の式も成り立つ。
これらの式が成り立つので、以下の式が成り立つ。
（公式の証明（その２）おわり）
《ベクトルの外積同士の内積の公式の証明（その３）》
この公式は、ベクトルｈを用いて以下の様に計算して証明することもできます。
下図のように、ベクトルＡとベクトルＢの外積を単位ベクトルｈを使って表し、直交ベクトル系ｈとａとａvを定義する。
そして、公式の左辺の式を、以下の様にベクトルＣとベクトルＤをベクトルｈとベクトルａとベクトルａvであらわして計算する。
次に、公式の右辺の式を、ベクトルＣとベクトルＤをベクトルｈとベクトルＡとベクトルＢであらわして計算する。
式１１と式１２の値が等しいので、以下の式が成り立つ。
（公式の証明（その３）おわり）
【公式の証明（その４）】
その３の証明とほとんど同じ証明ですが、以下の形の計算を行って証明することができます。
（１）ベクトルＡの方向の単位ベクトルをベクトルＸとする。
（２）ベクトルＡとベクトルＢの張る平面上のベクトルで、ベクトルＡに垂直な単位ベクトルをベクトルＹとする。
（３）ベクトルＸとベクトルＹの外積をベクトルＺとする。ベクトルＺは単位ベクトルになる。
直交ベクトル系、Ｘ，Ｙ，Ｚで、ベクトルＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄが以下の図のように表せる。
このとき、以下の式１が成り立つ。
また、以下の式２が成り立つ。
式１の値と式２の値が等しいので式３の関係が成り立つ。
（公式の証明（その４）おわり）
（補足）
外積したベクトルは、外積の形のままであらわした式の方が基本的な式になるように思います。
２次元ベクトルでは、２次元ベクトルａとｂを９０度回転したベクトルａｖとｂｖをベクトルａとｂで表すよりも、ベクトルａｖとｂｖのみで単純に表す方が優れた表現でした。
それと同様に、３次元ベクトルａ，ｂ，ｃでも、３次元ベクトルの外積をベクトルａとｂとｃで表すよりも、外積の形のままの式を使って計算する方が良いように思います。
その外積の形の式同士の内積は、「ベクトルの外積同士の内積の公式」を使って、ベクトルａ，ｂ，ｃの単純な内積であらわせますので、問題無いと思います。
実際、ベクトルの外積同士の内積の公式（式１）の第３の証明においても、２つのベクトルの外積を、そのままの形で１つのベクトルｈと考えて計算を進めて証明できました。
また、「ベクトルの外積の３重積の公式」のページの、【ベクトルの外積同士の内積の公式】に、アインシュタインの縮約記法を使った、この公式の証明方法が書いてあります。
空間ベクトルの外積の公式は、ここをクリックした先のサイトのページが参考になります。
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