複素数平面で円周角の定理を示す

【課題】
　円周角の定理をあらわす以下の複素数平面の図を考えて、以下の式の形で円周角の定理があらわされることを計算して試してみましょう。

（注意）　オイラーの定理「ｅｘｐ（ｉβ）＝（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ）」は、前提条件として使ってください。
この問題の目的はオイラーの定理を証明することでは無く、
（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ）をｅｘｐ（ｉβ）であらわした方が式が簡潔だからです。

【解答方針】
　図形の考察によって問題を解き、次に、「複素数と共役複素数の比が単位円上にある公式」を利用して、図形の考察で得た解をなぞって複素数の計算をします。

 
【複素数と共役複素数の比が単位円上にある公式】
　複素数αとそれに共役な複素数との比の値（複素数）は、以下の式のように、実数Φの媒介変数で表される、複素数平面の単位円上の点です。

（公式おわり）
この式は、「共役複素数の役割」のページで表した、複素数の単位ベクトルの偏角を−２倍にした単位ベクトルを表します。

【解答】
　図形の考察によって、ベクトル(zg)とベクトル(zh)の成す角βの２倍が、ベクトルｇとベクトルｈの成す角度になる事を知っています。
その図形の定理を複素数平面の計算の形で表します。
　それは、以下のように、複素数の偏角のみの性質を持つ単位ベクトルの式（共役複素数との比で表せる）で表します。

以上の計算によって、ベクトル(zg)とベクトル(zh)の成す角βの２倍を計算した結果が、ベクトルｇとベクトルｈの成す角度になった。
すなわち、ベクトルｚの位置にかかわりなく一定の角度になり、円周角が一定である事を示した。
（解答おわり）

（補足）
　この問題は、図形の考察で問題が解け、その解を複素数の計算の形で示したものである。複素数の式を計算する前に図形問題の解を得ているからこそ、あたかも複素数の計算で解が得られたように解が表現できた事に注意すること。
　すなわち、先ず、円の中心からのベクトルを使った図形の考察で円周角の定理が証明できたからこそ、円の中心を原点にした複素数で問題をあらわした。
　また、円周角の２倍がベクトルｇとベクトルｈの成す角であるからこそ、円周角の２倍の角度が得られる複素数の式を記述して式を計算した。その式の答えが(g/h)になるハズだから、(g/h)とその他の項の積で式を記述し、その他の式が１になるまで式を変形しただけである 。
　そうせずに、複素数平面の複素数の計算式をただ変形するだけの試行錯誤の計算の道を進むことで円周角の定理を証明しようと、計算の見通しが悪く、計算の森で迷子になってしまう事が多く、そのやり方で円周角の定理を証明しようとするのはとても難しい。
　このように、(1)どの複素数で問題を記述するべきかの知識や、(2)どの式を計算に使うべきか、そして、(3)どの様に計算を進めるべきであるかの知識は、図形の考察によって先行して与えられている。複素数の計算よりも図形の考察の方が視野が広く融通性があり、常に先行するものである。
　複素数平面の複素数の式の計算は、その図形の、補助線を引いて図形の性質を導き出す考察プロセスを、複素数の加減乗除を計算するという抽象化したプロセスで表現しているだけと解釈でき、問題の答えを導き出す発想の源泉は、図形の考察から生み出される。

リンク：
ベクトルの内積で円周角の定理を確認する
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