下図のグラフの関数は連続関数で、関数の極限が存在するが、でこぼこしていて、でこぼこがｘのあらゆる有理数にまで在り、どの有理数のｘの位置においても微分不可能な関数です。
上図のグラフのよう微分不可能な位置（ｘ＝有理数の点）が無限にある関数であっても、その積分範囲で１つながりに連続な関数は、積分はできます。
元の関数が連続関数等の、関数の極限が存在する関数の場合は、その関数を積分した関数は微分可能な関数になります。
こうして、極限が存在して１つながりに連続な関数を積分して関数群を作れば、その関数群は皆、微分可能な関数であることが保証されます。
（どの様な関数ｆ（ｘ）を積分しても得られない連続関数Ｆ（ｘ））
連続関数であり、かつ、あらゆるところで微分不可能な関数であるワイエルシュトラス関数等は、どのような関数ｆ（ｘ）を積分しても得ることができません。
（極限が存在しない点が無限にあり、積分不可能な関数）
しかし、下のグラフの関数ｆ（ｘ）のように、どの位置においても関数の極限が存在しない関数もあり得ます。
例えば、
ｘが有理数の場合にｆ（ｘ）＝０であって、
ｘが無理数の場合のｆ（ｘ）＝１
という、極限が存在しない関数ｆ（ｘ）などです。
（ｆ（ｘ） ≡ １－ディリクレ関数）
そういう、極限が存在しない関数ｆ（ｘ）を積分して関数Ｆ（ｘ)を得た場合（もし積分できた場合）、その積分により得られた関数Ｆ（ｘ）は微分可能だろうか。
そもそも、微分の計算は極限を求める計算なので、その関数ｆ（ｘ）が積分できても、その積分した関数Ｆ（ｘ）を微分した場合に、元の関数ｆ（ｘ）は（極限値が存在しないので）、微分によっては得られないと考えます。
この関数ｆ（ｘ）の変数ｘ＝ｘ１からｘ＝ｘ２までの変数ｘの閉区間をｎ等分した小区間を作り、その小区間毎にｆ（ｘ）の値ｆ（ξ）を求めて、その値の和で積分します。
（１）その際に、 変数ｘ＝ξが全て有理数なら、ｆ（ξ）＝０になり、積分結果は０になります。
（２）一方、変数ｘ＝ξが全て無理数√２の有理数倍なら、ｆ（ξ）＝１になり、積分結果は（ｘ２－ｘ１）になります。
（３）小区間内の点ξの取り方によってｆ（ξ）の和による積分結果が変わるような計算の値は定かでは無いので、その様な関数ｆ（ｘ）は積分することができません。
（但し、無理数は有理数の可付番無限大倍よりも多く圧倒的に多い無理数を優先して計算するルベーグ積分という定義もあります。）
（極限が存在しない点が無限にあり、積分可能な関数）
上図のノコギリ関数ｇ（ｘ）を使って以下の関数を作ります。
この関数ｆ（ｘ）は、以下のｘ座標で極限が存在しない。
その他、
ｘ＝奇数／（整数×２）
の点では極限値が存在しない。
しかし、この関数ｆ（ｘ）は積分できて、連続関数Ｇ（ｘ）が得られる。
積分結果の連続関数Ｇ（ｘ）は微分できるｘの値がある。
（関数Ｇ（ｘ）は、元の関数ｆ（ｘ）の極限が存在しない有理数のｘの値では、微分不可能です）
関数Ｇ（ｘ）の微分結果は、以下の関数ｇ２（ｘ）を使ってあらわすことができる。
微分結果のグラフは、以下のｆ２（ｘ）のグラフになります。
ただし、このｆ２（ｘ）のグラフは、関数ｆ２（ｘ）の極限が存在しない有理数のｘの値では、このグラフｆ２（ｘ）が不連続であり、かつ、グラフｆ２（ｘ）の関数値が存在しない。
この関数ｆ２（ｘ）は、連続で無い点では関数値が存在しないが、関数ｆ（ｘ）は、連続で無い点でも関数値が存在します。
その点で、関数ｆ２（ｘ）が、積分以前の関数ｆ（ｘ）と異なっています。
しかしながら、「微分可能」な変数ｘの値での関数ｆ２（ｘ）の値は積分以前の関数ｆ（ｘ）の値と同じになります。
おもしろいことに、この関数ｆ２（ｘ）のグラフは、
ｘ＝無理数の位置で「連続」です。
そのｘの無理数の値から無限に小さい距離の近くにも有理数の値のｘの連続で無い点があるにもかかわらずです。
このように、微分積分学では、あらゆる関数に微分積分を行う理論を作ろうとすると、いろいろな難しい問題があることがわかりました。
積分前の関数ｆ（ｘ）と、微分前の関数Ｆ（ｘ）との、変数ｘの一部の定義域での微分積分のあり得る関係が以下の図であらわせます。
（上図で、関数ｆ２（ｘ）は、除去可能な連続で無い点を除去した関数です。関数Ｆ（ｘ）は、関数Ｆ（ｘ）の連続で無い点を除いた変数ｘの範囲でｆ（ｘ）の不定積分であるとともに、ｆ２（ｘ）の不定積分でもあります）
このように、関数の連続で無い点がらみで、関数ｆ（ｘ）とＦ（ｘ）の間に難しい関係があることが分かりました。
微分積分学で、難しい問題が生じない関数の範囲を把握して、その範囲内で微分積分の計算をすることで、応用上で微分積分を使い易くできます。
そのため、使い易い関数として、極限が存在し、かつ、１つながりに連続な「連続関数」 を主に扱う対象にし、また、「微分可能性」で関数の変数の定義域を制限して、微分積分を行う範囲を制限します。
（ただし、連続関数というｘの演算式が存在するわけでは無く、関数のグラフに連続で無い点が無い変数ｘの範囲を定義した定義域に制限して考える関数が連続関数と定義されます）
その範囲内で成り立つ法則を把握して、種々の公式を導き出して使うことで微分積分学を最大限に応用できるようになります。
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元の関数が連続関数等の、関数の極限が存在する関数の場合は、その関数を積分した関数は微分可能な関数になります。
こうして、極限が存在して１つながりに連続な関数を積分して関数群を作れば、その関数群は皆、微分可能な関数であることが保証されます。
（どの様な関数ｆ（ｘ）を積分しても得られない連続関数Ｆ（ｘ））
連続関数であり、かつ、あらゆるところで微分不可能な関数であるワイエルシュトラス関数等は、どのような関数ｆ（ｘ）を積分しても得ることができません。
（極限が存在しない点が無限にあり、積分不可能な関数）
しかし、下のグラフの関数ｆ（ｘ）のように、どの位置においても関数の極限が存在しない関数もあり得ます。
例えば、
ｘが有理数の場合にｆ（ｘ）＝０であって、
ｘが無理数の場合のｆ（ｘ）＝１
という、極限が存在しない関数ｆ（ｘ）などです。
（ｆ（ｘ） ≡ １－ディリクレ関数）
そもそも、微分の計算は極限を求める計算なので、その関数ｆ（ｘ）が積分できても、その積分した関数Ｆ（ｘ）を微分した場合に、元の関数ｆ（ｘ）は（極限値が存在しないので）、微分によっては得られないと考えます。
この関数ｆ（ｘ）の変数ｘ＝ｘ１からｘ＝ｘ２までの変数ｘの閉区間をｎ等分した小区間を作り、その小区間毎にｆ（ｘ）の値ｆ（ξ）を求めて、その値の和で積分します。
（１）その際に、 変数ｘ＝ξが全て有理数なら、ｆ（ξ）＝０になり、積分結果は０になります。
（２）一方、変数ｘ＝ξが全て無理数√２の有理数倍なら、ｆ（ξ）＝１になり、積分結果は（ｘ２－ｘ１）になります。
（３）小区間内の点ξの取り方によってｆ（ξ）の和による積分結果が変わるような計算の値は定かでは無いので、その様な関数ｆ（ｘ）は積分することができません。
（但し、無理数は有理数の可付番無限大倍よりも多く圧倒的に多い無理数を優先して計算するルベーグ積分という定義もあります。）
（極限が存在しない点が無限にあり、積分可能な関数）
ｘ＝奇数／（整数×２）
の点では極限値が存在しない。
しかし、この関数ｆ（ｘ）は積分できて、連続関数Ｇ（ｘ）が得られる。
（関数Ｇ（ｘ）は、元の関数ｆ（ｘ）の極限が存在しない有理数のｘの値では、微分不可能です）
関数Ｇ（ｘ）の微分結果は、以下の関数ｇ２（ｘ）を使ってあらわすことができる。
この関数ｆ２（ｘ）は、連続で無い点では関数値が存在しないが、関数ｆ（ｘ）は、連続で無い点でも関数値が存在します。
その点で、関数ｆ２（ｘ）が、積分以前の関数ｆ（ｘ）と異なっています。
しかしながら、「微分可能」な変数ｘの値での関数ｆ２（ｘ）の値は積分以前の関数ｆ（ｘ）の値と同じになります。
おもしろいことに、この関数ｆ２（ｘ）のグラフは、
ｘ＝無理数の位置で「連続」です。
そのｘの無理数の値から無限に小さい距離の近くにも有理数の値のｘの連続で無い点があるにもかかわらずです。
このように、微分積分学では、あらゆる関数に微分積分を行う理論を作ろうとすると、いろいろな難しい問題があることがわかりました。
積分前の関数ｆ（ｘ）と、微分前の関数Ｆ（ｘ）との、変数ｘの一部の定義域での微分積分のあり得る関係が以下の図であらわせます。
このように、関数の連続で無い点がらみで、関数ｆ（ｘ）とＦ（ｘ）の間に難しい関係があることが分かりました。
微分積分学で、難しい問題が生じない関数の範囲を把握して、その範囲内で微分積分の計算をすることで、応用上で微分積分を使い易くできます。
そのため、使い易い関数として、極限が存在し、かつ、１つながりに連続な「連続関数」 を主に扱う対象にし、また、「微分可能性」で関数の変数の定義域を制限して、微分積分を行う範囲を制限します。
（ただし、連続関数というｘの演算式が存在するわけでは無く、関数のグラフに連続で無い点が無い変数ｘの範囲を定義した定義域に制限して考える関数が連続関数と定義されます）
その範囲内で成り立つ法則を把握して、種々の公式を導き出して使うことで微分積分学を最大限に応用できるようになります。
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