２直線の関係（三角形の外接円の中心の座標）

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強


【問１】三角形ＡＢＣの外心（外接円の中心）の座標Ｄをもとめよ。ただし、頂点Ａ，Ｂ，Ｃの座標は、点Ａ（４，７）、点Ｂ（２，１）、点Ｃ（８，３）とする。

外接円の中心Ｄは、線分ＡＢの垂直二等分線ｍと線分ＢＣの垂直二等分線ｎとの交点を計算することで求める。


（予備知識）
複雑な図形の問題は、より単純な図形の問題に置きかえて考えます。
（難しい形の問題は、全て、単純な形に置き換えて考えるのが数学のコツです。）


（まず、問題を単純化する）
上の図形の座標軸（ｘ，ｙ）を、平行移動して、点Ｂを座標原点とする座標（Ｘ，Ｙ）で考える。

ここで、単純化した問題の解答を得た後で、解答を元の問題の解答へ翻訳できるように、元の問題との対応関係を与える式を、以下のように書いて記録しておく。
Ｘ＝ｘ－２　（式１）
Ｙ＝ｙ－１　（式２）


この座標系Ｘ，Ｙでは、上図のように、点Ｂが座標の原点にあります。

線分ＡＢの垂直二等分線ｍは線分ＡＢの中点Ｍを通る直線であり、
線分ＢＣの垂直二等分線ｎは線分ＢＣの中点Ｎを通る直線である。

線分ＡＢの垂直二等分線ｍの式は、ベクトルＭＤとそれに垂直なベクトルＭの内積が０であることをあらわす式である。

上の図のように、直線ＡＢの垂直二等分線の式は、式３であらわされる。
（Ｘ－１）＋３（Ｙ－３）＝０　（式３）

同様にして、直線ＢＣの垂直二等分線ｎの式は、式４であらわされる。
３（Ｘ－３）＋（Ｙ－１）＝０　（式４）
式３と式４を連立して解けば、垂直二等分線ｍとｎの交点の座標Ｄが求められる。
式３を展開して式５を得る。
Ｘ＋３Ｙ＝１０　（式５）
式４を展開して式６を得る。
３Ｘ＋Ｙ＝１０　（式６）


Ｙを消去するために、（式５）－（式６）・３を計算する。
Ｘ＋３Ｙ＝１０　（式５）
－９Ｘ－３Ｙ＝－３０　（式６’）
－８Ｘ＝－２０
Ｘ＝５／２　（式７）


式７を式６に代入する。
３・（５／２）＋Ｙ＝１０
Ｙ＝５／２　（式８）
式７と式８でＤ点の座標（５／２，５／２）が得られた。


こうして得た解答を元の複雑な問題の解答に翻訳する。
（計算方針）式７と式８それぞれに、式１と式２を代入して座標Ｘ，Ｙを元の座標ｘ，ｙに戻す。
式７に式１を代入する。
ｘ－２＝５／２
ｘ＝９／２　（式９）


式８に式２を代入する。
ｙ－１＝５／２
ｙ＝７／２　（式１０）
これで、点Ｄの座標系ｘ，ｙでの座標値（９／２，７／２）が得られた。
（解答おわり）


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