2011年3月26日土曜日

第2講2節 直線の関係(垂直二等分線の方程式)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

以下で、点A(a,a)と点B(b,b)を結ぶ線分ABの垂直二等分線の方程式を導く方法を説明します。
(点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前AとBを引き継いだ記号であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです) 
 
(予備知識)
複雑な直線の方程式は、単純な形の基本的な直線の方程式に置きかえて考えます。
(難しい形の式は、全て、単純な形の式に置き換えて考えるのが数学のコツです。)

(まず、問題を単純化する)
上の概念図の座標軸(x,y)を、平行移動して、線分ABの中点(その点を垂直二等分線が通る)を座標原点とする座標(X,Y)で考える。

ここで、単純化した問題の解答を得た後で、解答を元の問題の解答へ翻訳できるように、元の問題との対応関係を与える式を、以下のように書いて記録しておく。
この座標系X,Yでは、上図のように、点Aと点Bが原点に対して対称な位置にあります。点AのX座標=Aとし、Y座標=Aと書き直して単純化する。

ここで、単純化した問題の解答を得た後で、解答を元の問題の解答へ翻訳できるように、元の問題との対応関係を与える式を、以下のように書いて記録しておく。
です。

(単純化した問題を解く)
上の図を見ると、点Aと原点を通る直線の式は、
であらわせることがわかる。そして、
この直線に垂直で原点を通る直線の式は、
 (以上で、単純化した問題の解答が得られた)

(単純化した問題の解答を元の問題の解答へ翻訳する)
式5のAとAを、式3と4を使って、a、a、b、bに置き換える。
上の式のXとYを、式1と2を使って、x、yに置き換える。
(解答おわり)

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