2011年3月27日日曜日

第3講1節 円の方程式

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

以下で、点D(d,d)を中心とする半径Rの円の方程式を説明します。
(点Dの座標値を記号であらわすときは、上図のdの様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前Dを引き継いだ記号dであらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです)

(予備知識)
難しい形の図形は、その座標を単純な形の基本的な座標での図形に置きかえて考えます。
(難しい形の図形は、全て、単純な座標での図形に置き換えて考えるのが数学のコツです。)

(まず、問題を単純化する)
上の座標軸(x,y)を、平行移動して、円の中心Dを座標軸の原点とする座標(X,Y)で考える。

ここで、単純化した問題の解答を得た後で、解答を元の問題の解答へ翻訳できるように、元の問題との対応関係を与える式を、以下のように書いて記録しておく。

(単純化した図形で問題を考える)
この座標系X,Yでは、上図のように、円の中心点Dが原点にあります。
この座標X,Yで考えると、上の図のように半径Rの円の方程式は、
+Y=R (式3)
であらわせます。

(参考のため、別の視点で円の方程式を導いてみる)

上図のように、円の直径BCの両端と円の上の点A(X,Y)を結ぶ2つの、ベクトルABとベクトルACは直交します。
そのため、その2つのベクトルが直交するとしたベクトルの内積の式を展開します。
その展開の結果、やはり、式3と同じ円の方程式が得られました。
(以上で、単純化した図形で円の方程式が得られた)

(単純化した問題の解答を元の座標系x,yでの解答へ翻訳する)
式3のXとYを、式1と2を使って、x、yに置き換える。
これが、点D(d,d)を中心にする半径Rの円の方程式である。

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