垂直な直線の方程式

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

以下で、ある直線に垂直な直線の方程式を導く方法を説明します。
（予備知識）
複雑な直線の方程式は、単純な形の基本的な直線の方程式に置きかえて考えます。
（難しい形の式は、全て、単純な形の式に置き換えて考えるのが数学のコツです。）

（説明開始）
基本的な直線の式は、以下の式です。
ａｘ＋ｂｙ＝０
これは、座標原点（０，０）を通る直線です。

この直線の式は、
位置ベクトル（ｘ，ｙ）と
法線ベクトル（ａ，ｂ）の内積が０であって、
直線の位置ベクトルに、直線の法線ベクトルが垂直であるという関係を表す式であると覚えてください。

この直線に垂直な直線の式は、
－ｂｘ＋ａｙ＝０
です。
ｘとｙにかかる係数を入れ替えて、１つ目の係数の符号を正負逆にした式です。
この式の関係を、以下の図に示します。

これが、垂直な直線の導き方の基本的考え方です。

ここで、点Ａの座標の記号は、下図のように、点Ａの記号を引き継いだ記号に添え字を付けてあらわしてください。そうした方が計算の見通しが良くなるからです。

（基本的考え方の応用）
もっと複雑な問題の場合への応用方法は、以下のようにします。


（例１）
直線　２ｘ＋ｙ＋４＝０　に垂直な直線の式は、以下のように導きます。
上の直線の式は、以下の式に書き直すと基本的な直線の式になります。
２（ｘ＋２）＋ｙ＝０
ｘ＋２＝Ｘ　と置き変えて見ると、上の式は、
２Ｘ＋ｙ＝０
になり、基本的な直線の式であらわせます。
この直線の式に垂直な直線の式は、
－Ｘ＋２ｙ＝０
－（ｘ＋２）＋２ｙ＝０
－ｘ＋２ｙ－２＝０
とあらわせます。

（例２）
直線　２ｘ＋ｙ＋４＝０　に垂直で、かつ、点Ａ（３，５）を通る直線の式は、以下のように導きます。
直線　２ｘ＋ｙ＋４＝０　を平行移動して、点Ａ（ｘ，ｙ）＝（３，５）を通る直線にする。
座標（ｘ，ｙ）を、平行移動して、点Ａ（３，５）を座標原点Ａ（Ｘ，Ｙ）＝（０，０）とする座標（Ｘ，Ｙ）で考える。
点Ａ（Ｘ，Ｙ）＝（０，０）
Ｘ＝ｘ－３
Ｙ＝ｙ－５
直線　２ｘ＋ｙ＋４＝０　を平行移動して、点Ａ（３，５）を通る直線は、
２Ｘ＋Ｙ＝０
です。
この直線に垂直な直線は、
－Ｘ＋２Ｙ＝０
この座標（Ｘ，Ｙ）を（ｘ，ｙ）に置き換える。
－（ｘ－３）＋２（ｙ－５）＝０
－ｘ＋２ｙ＋３－１０＝０
－ｘ＋２ｙ－７＝０
（解答おわり）


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