2011年3月26日土曜日

第2講2節 2直線の関係(垂直な直線の方程式)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強


以下で、ある直線に垂直な直線の方程式を導く方法を説明します。
(予備知識)
複雑な直線の方程式は、単純な形の基本的な直線の方程式に置きかえて考えます。
(難しい形の式は、全て、単純な形の式に置き換えて考えるのが数学のコツです。)


(説明開始)
基本的な直線の式は、以下の式です。
ax+by=0
これは、座標原点(0,0)を通る直線です。


この直線に垂直な直線の式は、
-bx+ay=0
です。
xとyにかかる係数を入れ替えて、1つ目の係数の符号を正負逆にした式です。
この式の関係を、以下の図に示します。
これが、垂直な直線の導き方の基本的考え方です。

ここで、点Aの座標の記号は、下図のように、点Aの記号を引き継いだ記号に添え字を付けてあらわしてください。そうした方が計算の見通しが良くなるからです。

(基本的考え方の応用)
もっと複雑な問題の場合への応用方法は、以下のようにします。


(例1)
直線 2x+y+4=0 に垂直な直線の式は、以下のように導きます。
上の直線の式は、以下の式に書き直すと基本的な直線の式になります。
2(x+2)+y=0
x+2=X と置き変えて見ると、上の式は、
2X+y=0
になり、基本的な直線の式であらわせます。
この直線の式に垂直な直線の式は、
-X+2y=0
-(x+2)+2y=0
-x+2y-2=0
とあらわせます。


(例2)
直線 2x+y+4=0 に垂直で、かつ、点A(3,5)を通る直線の式は、以下のように導きます。
直線 2x+y+4=0 を平行移動して、点A(x,y)=(3,5)を通る直線にする。
座標(x,y)を、平行移動して、点A(3,5)を座標原点A(X,Y)=(0,0)とする座標(X,Y)で考える。
点A(X,Y)=(0,0)
X=x-3
Y=y-5
直線 2x+y+4=0 を平行移動して、点A(3,5)を通る直線は、
2X+Y=0
です。
この直線に垂直な直線は、
-X+2Y=0
この座標(X,Y)を(x,y)に置き換える。
-(x-3)+2(y-5)=0
-x+2y+3-10=0
-x+2y-7=0
(解答おわり)


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