佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
以下の内容は、むかしは、高校の検定教科書では教えないことになっていました。多分、これを教えると、その説明が分からない人が続出して、先生までも分からなくなる恐れもあり、学校にとってとても危険な教えだから、教える事が禁じられていたのかもしれません。
そのため、むかしは、以下の内容は、禁止された教えであるので、この教えを知っている事を隠して生活するのが望ましかったと考えます。
また、以下の内容が理解できなくても、それは、”正常”な人のあかしですので、理解できなかったからといって、決して、理解できなかった事を恥じたりしないで欲しい。また、理解できないからと言って、決して、理解できた人を迫害したりしないで欲しいと思います。
ｓ＝ｗ・ｚ
というように、複素数ｗに複素数ｚを掛け算して複素数ｓを計算する場合、
複素数平面で複素数ｚが、０と１を結ぶ線分（実軸）から、０を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
その角度θを偏角と呼び、θ＝ａｒｇ（ｚ）とあらわします（左回りを正の角度にします）。
また、複素数ｚの絶対値を|ｚ|とあらわします。
その複素数の掛け算については、以下の公式が成り立ちます。
ａｒｇ（ｓ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|
以下で、これが、どうして成り立つかを説明します。
《例１》
上図のように、
複素数 ｗ＝１＋ｉ
に、実数３／２を掛け算すると、
複素数ｗは、実軸と成す角度が同じまま、長さ（絶対値）が３／２倍になります。
《例２》
上図のように、ｗ＝１に虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果ｓ＝ｉになり、
数Ｗ＝１と原点０を結ぶ線が左回りに９０度回転します。
上図のように、ｗ＝ｉに虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果ｓ＝－１になり、
数Ｗ＝ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転します。
《例３ ｗ＝１＋ｉの場合》 ｗを更に変えて考える。
上図のように、ｗ＝１＋ｉに虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果ｓ＝－１＋ｉになり、
数Ｗ＝１＋ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転します。
《例４ ｗ＝（１＋３ｉ）／２の場合》
上図のように、ｗ＝（１＋３ｉ）／２に虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果Ｗｉ＝S＝－（３／２）＋（１／２）ｉになり、
複素数Ｗ＝（１／２）＋（３／２）ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転します。
【重要なポイント】
複素数Ｗが何であっても、それにｉを掛け算した複素数は、複素数Ｗよりも偏角が９０°回転する。その理由は、複素数Ｗのベクトルの実数成分も、虚数成分も、同じく９０°回転した成分に変換されるからである。
また、複素数Wに掛け算する複素数Zがその純虚数から正の実数まで変われば、複素数Ｗに複素数Ｚを掛け算した値ＷＺは、複素数Ｗの偏角から９０°回転するものから０°の回転まで変化する。そのことから、複素数Ｗが回転する角度は、それに掛け算する複素数Ｚの偏角と等しいだろうと容易に想像できる。
【視点を変えて考える】
虚数ｉに複素数Ｗを掛け算した複素数は、虚数ｉの偏角の90°よりも複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換されると言える。そして、実数１に複素数Ｗを掛け算した複素数は、実数１の偏角の0°よりも複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換されると言える。そのため、ある複素数Ｚの実数成分も虚数成分も、同じく複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換される。
このことから、複素数Ｚに複素数Ｗを掛け算すると、複素数Ｚが複素数Ｗの偏角だけ回転すると言える。ゆえに、複素数Ｚに複素数Ｗを掛け算した複素数は、複素数Ｚの偏角と複素数Ｗの偏角の和の偏角を持つと言える。
《例５ ｗの値もＺの値も任意の場合》
上図を用いて、どのような複素数ＷとＺについても、
複素数ＷＺは複素数Ｗよりも、偏角が複素数Ｚの偏角θだけ大きくなり、また、その絶対値は |Z| 倍になることが証明できます。
（証明開始）
上図で、線分ＯＡの長さの実数に複素数ｚを掛け算して得た複素数の点をＣとする。
線分ＯＢの長さの虚数に複素数ｚを掛け算して得た複素数の点をＤとする。
複素数ｗは線分ＯＡの長さの実数＋線分ＯＢの長さの虚数倍を足した値です。
複素数ｗに複素数ｚを掛け算した値Ｓは、Ｃ点の複素数にＤ点の複素数を足した値になる。
そのため、複素数S=ＷＺは、ベクトルOCとベクトルODを合成したベクトルの先端位置Sに来る。すなわち複素数S＝WZを表す点は、上図の長方形ＯＤＳＣの頂点Ｓの位置に来る。
三角形ＯＣＡと三角形ＯＤＢは、Ｏとｚと１を結んだ三角形に相似な三角形です。そのため：
辺ＯＣの長さは、辺ＯＡの長さの|ｚ|倍であり、
辺ＯＤの長さも、辺ＯＢの長さの|ｚ|倍です。
長方形ＯＤＳＣは、長方形ＯＢＷＡに対して、対応する辺OC：辺ＯＡと、辺OD：辺ＯＢが同じ相似比の|ｚ|倍です。そのため両者は相似な長方形です。
また、長方形ＯＤＳＣは、長方形ＯＢＷＡをｚの偏角θだけ回転した形をしています。
その長方形ＯＤＳＣの一部のベクトルＯＳは、長方形ＯＢＷＡの一部のベクトルＯＷを、ｚの偏角θだけ回転したベクトルになります。また、ベクトルＯＳの長さは、ベクトルＯＷの|ｚ|倍のベクトルになります。
ベクトルＯＳは複素数ＷＺです。すなわち、複素数ＷＺは複素数Ｗよりも偏角がθ大きくなり、また、その絶対値は |Z| 倍になります。
（証明終わり）
このことを、数式を用いて表現すると、
ａｒｇ（ｓ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|
と表現できます。
以上の証明により、WにZを掛け算すると偏角がZの偏角θだけ増えることが証明できた。以下では、そのことがどういう事を意味するかを例６で示します。
《例６》
例えば、上図のように、ｚが（１＋ｉ）／√2の場合は、
０とｚと（１）を結んだ三角形は、頂角が４５度の二等辺三角形になります。
そして、上図のように、ｗに偏角が45°の複素数Z＝（１＋ｉ）／√2を掛け算した場合は、
０と（ｗｚ）とｗを結んだ三角形は、頂角が４５度の二等辺三角形になります。
また、ｕにｚ＝（１＋ｉ）／√2を掛け算した場合は、
０と（ｕｚ）とｕを結んだ三角形は、頂角が４５度の二等辺三角形になります。
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以下の内容は、むかしは、高校の検定教科書では教えないことになっていました。多分、これを教えると、その説明が分からない人が続出して、先生までも分からなくなる恐れもあり、学校にとってとても危険な教えだから、教える事が禁じられていたのかもしれません。
そのため、むかしは、以下の内容は、禁止された教えであるので、この教えを知っている事を隠して生活するのが望ましかったと考えます。
また、以下の内容が理解できなくても、それは、”正常”な人のあかしですので、理解できなかったからといって、決して、理解できなかった事を恥じたりしないで欲しい。また、理解できないからと言って、決して、理解できた人を迫害したりしないで欲しいと思います。
ｓ＝ｗ・ｚ
というように、複素数ｗに複素数ｚを掛け算して複素数ｓを計算する場合、
複素数平面で複素数ｚが、０と１を結ぶ線分（実軸）から、０を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
その角度θを偏角と呼び、θ＝ａｒｇ（ｚ）とあらわします（左回りを正の角度にします）。
また、複素数ｚの絶対値を|ｚ|とあらわします。
その複素数の掛け算については、以下の公式が成り立ちます。
ａｒｇ（ｓ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|
以下で、これが、どうして成り立つかを説明します。
《例１》
複素数 ｗ＝１＋ｉ
に、実数３／２を掛け算すると、
複素数ｗは、実軸と成す角度が同じまま、長さ（絶対値）が３／２倍になります。
《例２》
掛け算の結果ｓ＝ｉになり、
数Ｗ＝１と原点０を結ぶ線が左回りに９０度回転します。
掛け算の結果ｓ＝－１になり、
数Ｗ＝ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転します。
《例３ ｗ＝１＋ｉの場合》 ｗを更に変えて考える。
掛け算の結果ｓ＝－１＋ｉになり、
数Ｗ＝１＋ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転します。
《例４ ｗ＝（１＋３ｉ）／２の場合》
掛け算の結果Ｗｉ＝S＝－（３／２）＋（１／２）ｉになり、
複素数Ｗ＝（１／２）＋（３／２）ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転します。
【重要なポイント】
複素数Ｗが何であっても、それにｉを掛け算した複素数は、複素数Ｗよりも偏角が９０°回転する。その理由は、複素数Ｗのベクトルの実数成分も、虚数成分も、同じく９０°回転した成分に変換されるからである。
また、複素数Wに掛け算する複素数Zがその純虚数から正の実数まで変われば、複素数Ｗに複素数Ｚを掛け算した値ＷＺは、複素数Ｗの偏角から９０°回転するものから０°の回転まで変化する。そのことから、複素数Ｗが回転する角度は、それに掛け算する複素数Ｚの偏角と等しいだろうと容易に想像できる。
【視点を変えて考える】
虚数ｉに複素数Ｗを掛け算した複素数は、虚数ｉの偏角の90°よりも複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換されると言える。そして、実数１に複素数Ｗを掛け算した複素数は、実数１の偏角の0°よりも複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換されると言える。そのため、ある複素数Ｚの実数成分も虚数成分も、同じく複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換される。
このことから、複素数Ｚに複素数Ｗを掛け算すると、複素数Ｚが複素数Ｗの偏角だけ回転すると言える。ゆえに、複素数Ｚに複素数Ｗを掛け算した複素数は、複素数Ｚの偏角と複素数Ｗの偏角の和の偏角を持つと言える。
《例５ ｗの値もＺの値も任意の場合》
複素数ＷＺは複素数Ｗよりも、偏角が複素数Ｚの偏角θだけ大きくなり、また、その絶対値は |Z| 倍になることが証明できます。
（証明開始）
上図で、線分ＯＡの長さの実数に複素数ｚを掛け算して得た複素数の点をＣとする。
線分ＯＢの長さの虚数に複素数ｚを掛け算して得た複素数の点をＤとする。
複素数ｗは線分ＯＡの長さの実数＋線分ＯＢの長さの虚数倍を足した値です。
複素数ｗに複素数ｚを掛け算した値Ｓは、Ｃ点の複素数にＤ点の複素数を足した値になる。
そのため、複素数S=ＷＺは、ベクトルOCとベクトルODを合成したベクトルの先端位置Sに来る。すなわち複素数S＝WZを表す点は、上図の長方形ＯＤＳＣの頂点Ｓの位置に来る。
三角形ＯＣＡと三角形ＯＤＢは、Ｏとｚと１を結んだ三角形に相似な三角形です。そのため：
辺ＯＣの長さは、辺ＯＡの長さの|ｚ|倍であり、
辺ＯＤの長さも、辺ＯＢの長さの|ｚ|倍です。
長方形ＯＤＳＣは、長方形ＯＢＷＡに対して、対応する辺OC：辺ＯＡと、辺OD：辺ＯＢが同じ相似比の|ｚ|倍です。そのため両者は相似な長方形です。
また、長方形ＯＤＳＣは、長方形ＯＢＷＡをｚの偏角θだけ回転した形をしています。
その長方形ＯＤＳＣの一部のベクトルＯＳは、長方形ＯＢＷＡの一部のベクトルＯＷを、ｚの偏角θだけ回転したベクトルになります。また、ベクトルＯＳの長さは、ベクトルＯＷの|ｚ|倍のベクトルになります。
ベクトルＯＳは複素数ＷＺです。すなわち、複素数ＷＺは複素数Ｗよりも偏角がθ大きくなり、また、その絶対値は |Z| 倍になります。
（証明終わり）
このことを、数式を用いて表現すると、
ａｒｇ（ｓ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|
と表現できます。
以上の証明により、WにZを掛け算すると偏角がZの偏角θだけ増えることが証明できた。以下では、そのことがどういう事を意味するかを例６で示します。
《例６》
０とｚと（１）を結んだ三角形は、頂角が４５度の二等辺三角形になります。
０と（ｗｚ）とｗを結んだ三角形は、頂角が４５度の二等辺三角形になります。
また、ｕにｚ＝（１＋ｉ）／√2を掛け算した場合は、
０と（ｕｚ）とｕを結んだ三角形は、頂角が４５度の二等辺三角形になります。
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