2011年3月27日日曜日

第3講2節 円と直線

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)と、直線3x+2y=kとが接する場合のkの値を求めよ。

(予備知識)
難しい形の図形は、その座標を単純な形の基本的な座標での図形に置きかえて考えます。
(難しい形の図形は、全て、単純な座標での図形に置き換えて考えるのが数学のコツです。)

【解答開始】
(まず、問題を単純化する)

直線の式は以下の式で与えられました。
3x+2y=k (式1)
円の式は以下の式です。
+y=1 (式2)
ここで、この直線の式(式1)は、もっと基本的な形をした単純な意味を持つ式に書きかえられます。

式1のxとyの係数はベクトル(3,2)を成します。
このベクトルを、長さが1の単位ベクトルに変換します。
その変換は、ベクトル(3,2)を√(3+2)で割り算すれば、単位ベクトルに変わります。
検算してみると、
になるので、このベクトルが単位ベクトルであることがわかります。

直線をあらわす(式1)を√(3+2)で割り算すれば、xとyの係数が単位ベクトルであらわされた直線の式になります。
その直線の式において、(単位ベクトル)と(ベクトル(x,y))との内積は、その直線の座標原点からの距離をあらわします。
(その理由は単位ベクトルと直線上の点(x,y)の位置ベクトルの内積は、直線上の点のその単位ベクトル(直線に垂直)への正射影の長さになるからです。また、直線に垂直な単位ベクトルへの、座標原点と点(x,y)を結ぶベクトルの正射影の長さは、直線と座標原点との距離だからです。)

すなわち、単位ベクトルと直線上の点(x,y)の位置ベクトルの内積をあらわす左辺の式に等しい右辺の式の、
が、直線の座標原点からの距離です。
この距離が式2の円の半径1になれば、この直線が円に接します。
よって、もとめるkの値は、
の場合に、直線が円に接します。上の式を変形すると、
これが直線が円に接する場合のkの値です。
(解答おわり)


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