2011年4月1日金曜日

第3講2節 円と直線(極と極線)


佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCを結ぶ直線の方程式をもとめよ。
(点Aあるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に、点の名前Aを引き継いだ記号に添え字を付けた座標記号を使ってください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです)

線分DAの長さをaとする。

接点BとCを結ぶ直線を、点Aに対する円の極線と呼びます。
一方、線分BCと円の交点BとCから引いた円の接線の交点Aを、直線BCに対する円の極と呼びます。

(予備知識)
円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

(接点を結び直線BCと直線DAの交点Eを考える)

△ABDは△BEDに相似だから、
△BEDの辺DEの長さ=BD・(DB/AD)=1/a
一方、
ベクトルDAに平行な単位ベクトル
=ベクトルDA/a

単位ベクトル(=ベクトルDA/a)に垂直で原点からの距離が(1/a)の直線の式は、以下のベクトルの内積の式であらわせる。
よって求める直線(極線)の式は、
X+aY=1 (式1)

極A(a,a)が円上にある場合、式1で与えられる極線は、点Aで円に接する接線の式になる。

なお、極A(a,a)が円の中に入ってしまうと、点Aから円に接線が引けないハズなので、極線が無いと思うかもしれませんが、式1は、点A(a,a)が円の中であっても定義できる。
高校では教えないが、円の中の点も円と複素数の接点で接する。そのため、例えAが円の中でも、式1であらわされる極線が存在する。極線というのは、そういう広い概念の中で定義される大事な概念の直線です。

リンク:
ベクトル方程式による極と極線
点Pを極とする円の極線の作図サイト
高校数学の目次
複素数平面での円の極と極線

0 件のコメント:

コメントを投稿