2011年4月2日土曜日

第3講2節 円と直線(円への接線)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】
 座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A( a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCの座標をもとめよ。

上の図で線分OAの長さをaとする。

(予備知識)
 受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

(接点を結び直線BCと直線OAの交点Eを考える)
ここで、
=a+a
です。
△ABOは△BEOに相似だから、
△BEOの辺 OE=BO・(OB/AO)=1/a

一方、
ベクトルOA(べクトルA)に平行な単位ベクトルは、
です。

ベクトルAに垂直な単位ベクトル f は、ベクトルの成分であらわすと以下の式であらわせ、
です。

線分BEの長さは直角三角形BEOの斜辺BOと底辺OEから求められ、
です。 
よって、求める接点BとCは、以下のベクトルであらわせる。
位置ベクトル:

接点BとCの座標(x,y)は、以下の式であらわせる。
接点B:
接点C:
(解答おわり)

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