2011年4月2日土曜日

第3講2節 円と直線(円への接線)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強


【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,b)から引いた2つの接線の円との接点BとCの座標をもとめよ。

上の図で線分DAの長さをmとする。


(予備知識)
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。


(接点を結び直線BCと直線DAの交点Eを考える)

△ABDは△BEDに相似だから、
△BEDの辺DEの長さ=BD・(DB/AD)=1/m


一方、
ベクトルDA(べクトルA)に平行な単位ベクトル
=ベクトルA/m
すなわち、この単位ベクトルをベクトルの成分であらわすと、
(a,b)/m
です。


ベクトルAに垂直な単位ベクトル f は、ベクトルの成分であらわすと以下の式であらわせる。
(b,-a)/m
です。


線分BEの長さは直角三角形BEDの斜辺BDと底辺DEから求められ、
BE=√(1-(1/m)2)
です。
よって、求める接点BとCは、以下のベクトルであらわせる。
ここで、m=a+b
です。


接点BとCの座標(x,y)は、以下の式であらわせます。
接点Bは
x=(1/(a+b)){a-b√(a+b-1)}
y=(1/(a+b)){b+a√(a+b-1)}

接点Cは
x=(1/(a+b)){a+b√(a+b-1)}
y=(1/(a+b)){b-a√(a+b-1)}


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