2011年4月2日土曜日

第3講2節 円と直線(円への接線(2))

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】
 座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A( a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCの座標をもとめよ。


上の図で線分OAの長さをaとする。

(予備知識)
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

しかし、どうしても方程式を使って解くように求められた場合は、以下のようにして解きます。

(解答)
円の式は、
+y=1 (式1)
また、OAの長さaには、以下の式2が成り立つ。

(1)
円の接線の式を作る。
接点Bの座標をB( b,b)とし、接点Cの座標をC( c,c)する。
接点Bを通る、円の接線の式は、
この接線が点Aを通るため、以下の式がなりたつ。
(2) 
接点Bの座標を円の式(式1)に代入する。
(3) 
式4と式5を連立して接点B( b,b)の座標を求める。

先ず、式4から、
式6を式5に代入して未知数bを消去する。
その代入をしやすくするために、式5にaを掛け算する。
これに式6を代入する。
未知数bに関して、上の式を整理する。
この式を未知数bに関して平方完成する。
(4)
この式を式6に代入して未知数bを計算する。
この解は、接点Bと接点Cとの両方の解をあらわしている。
よって、接点BとCの座標(x,y)は、以下の式であらわせます。
接点Bは、
接点Cは、
(解答おわり)

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