2011年4月2日土曜日

第3講2節 円と直線(円への接線(2))

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強


【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,b)から引いた2つの接線の円との接点BとCの座標をもとめよ。
 
上の図で線分DAの長さをmとする。


(予備知識)
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。


しかし、どうしても方程式を使って解くように求められた場合は、以下のようにして解きます。

(解答)
円の式は、
+y=1 (式1)
(1)
接点Bの座標をB(c,d)とする。
接点Bを通る、円の接線の式は、
cx+dy=1 (式2)
この接線が点A(a,b)を通るため、以下の式がなりたつ。
c・a+d・b=1 (式3)
(2)
接点B(c,d)の座標を円の式(式1)に代入する。
+d=1 (式4)
(3)
式3と式4を連立して接点B(c,d)の座標を求める。
式3から、
d・b=1-c・a (式5)
式5を式4に代入して未知数dを消去する。
その代入をしやすくするために、式4にbを掛け算する。
+b=b (式4’)
これに式5を代入する。
+(1-c・a)=b
未知数cに関して、上の式を整理する。
(b+a)c-2c・a+1=b
(b+a)c-2c・a=b-1
ここで、計算間違いを少なくするため、
+a=u
と置き換えて、計算を楽にする。
u・c-2c・a=b-1
-2c・a/u=(b-1)/u
{c-a/u} 
  =(b-1)/u+{a/u}
{c-a/u} 
  =(b-1)u/u +{a/u}
{c-a/u} 
  ={(b-1)u+a}/u
{c-a/u}
  ={b+(ab)-b-a+a}/u
{c-a/u}={b+(ab)-b}/u
{c-a/u}=b(b+a-1)/u
c-a/u=±√{b(b+a-1)}/u
c=[a±b√(b+a-1)]/(b+a
(4)
この式を式5に代入して未知数dを計算する。
d・b=1-a[a±b√(b+a-1)]/(b+a
d・b=(b+a-a)/(b+a
     -[±ab√(b+a-1)]/(b+a
d・b=b/(b+a
     -[±ab√(b+a-1)]/(b+a
d=b/(b+a)-[±a√(b+a-1)]/(b+a
d=[b-±a√(b+a-1)]/(b+a
よって、接点BとCの座標(x,y)は、以下の式であらわせます。
接点Bは
x=(1/(a+b)){a-b√(a+b-1)}
y=(1/(a+b)){b+a√(a+b-1)}
接点Cは
x=(1/(a+b)){a+b√(a+b-1)}
y=(1/(a+b)){b-a√(a+b-1)}


リンク:
高校数学の目次

0 件のコメント:

コメントを投稿