三角関数の合成の公式

【三角関数の合成の公式】
すなわち、以下の式：

の変形の公式は、加法定理の一種です。
この式の係数：

とあらわせます。
そして、式１は以下の式に変形できます。

この式はｓｉｎの加法定理であるので、以下の式になります。

このように、ａ・ｓｉｎθ＋ｂ・ｃｏｓθは、１つのｓｉｎにまとめることができます。

《（ａ・ｓｉｎθ＋ｂ・ｃｏｓθ）はベクトルの回転をあらわす式》
　ベクトル（Ｘ，Ｙ）が既にＸ座標軸から角度アルファで回転していた場合に、それよりも更にθ回転したベクトル（Ｘ’，Ｙ’）を考える。そのベクトルの成分Ｘ’とＹ’は以下の式６と７であらわせます。

式７は、もともと角度α回転していたベクトル（Ｘ，Ｙ）が更に角度θ回転したベクトル（Ｘ’，Ｙ’）と単位ベクトル（０，１）との内積です。
そのため、式１は式７と（全体にかかる係数だけ違う）同じ式であり、式７のsin(α＋θ)と（全体にかかる係数だけ違う）同じ式です。

式１の各係数ａとｂは、
式７のcos(α)とsin(α)と式２と式３で対応させることができます。

式１は、式７のsin(α＋θ)に係数を掛け算した以下の式であらわせます。

 

【問１】
ｘの関数ｆ（ｘ）の０≦ｘ≦（２π）における最大値，最小値を求めよ。

【解答】
倍角の公式より

なお、
－π／４≦２ｘ－（π／４）≦８π－（π／４）
－π／４≦２ｘ－（π／４）≦７π＋（３π／４）
この角度の範囲で、この三角関数が単位円を１回転以上回転できる。
∴　－２√２－１≦ｆ（ｘ）≦２√２－１
（解答おわり）

【問２】（蛇足問題：大学レベルの問題）
複素数係数の三角関数の合成はどうしたら良いか。
以下の式：

は、どのように整理して表したら良いか。

【解答】
この問題は、大学レベルの問題であって、オイラーの定理を使って式を整理します。
オイラーの定理によって以下の関係が成り立ちます。

オイラーの定理を使うことで、問題の式が以下の式に変形・整理できます。

 （解答おわり）

（補足）
　以上の解答の様に、複素数係数の三角関数の和を整理した式は、上の解答のようなexp()関数による表現も必要です。この表現の式は、どのように変形しようとしてもsin又はcosの単独の関数では表す事ができません。
 
　更に、以下の問題も解いてみます。

【問題３】（蛇足問題：大学レベルの問題）
以下の式：

は 、どの様に整理したら良いか。

【解答】 
オイラーの定理を使うことで、問題の式が以下の式に変形・整理できます。

（解答おわり）

（補足）
　以上の解答の様に、複素数係数の三角関数の和を整理した式は、上の解答のように、sin又はcosの関数と、exp()関数との和で表した式に整理できます。
そして、この式は、これ以上単純な形に整理することはできません。この式は、複素数係数の三角関数の和を整理するときの一般的な形の式です。

リンク：
ベクトルの回転変換と三角関数の加法定理
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