2011年4月13日水曜日

第2講2節 直線の関係(交差する線の連立方程式の変換)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】2つの線の交点を与える連立方程式として、
(直線1) x+y=5 (式1)
(曲線2) xy=6  (式2)
がある。この2つの線の式の連立方程式の解は、2つの線の交点AとBの座標(x,y)を与える。
この式1と式2と同じ解を与える以下の形の連立方程式を作れ。
(直線1)   x+y=5       (式1)
(2直線3) (x-a)(x-b)=0 (式3)

(解答と解説)
この問題は、式1と式2の解を、別の方程式を使って求める問題です。

(計算方針)
(mx)(式1)+n(式2)を計算することで、(2直線3)の式を求める。

計算の見通しを良くするために、式にmを掛け算してm倍になる項を全て左辺に集めた式に整えて計算する。
(直線1)  x+y-5=0 (式1’)
(曲線2)  xy-6=0  (式2’)
(2直線3) x-(a+b)x+ab=0 (式3’)

(2直線3の式の計算)
(mx)(式1’)+n(式2’)を計算することで、直線3の式を求める。
(mx)(x+y-5)+n(xy-6)=0 (式4)
この式4を、式3’と等しくなるように、mとnの値を決める。
式4と式3’を比較し易いように、式4を変形する。
mx+(m+n)xy-5mx-6n=0 (式4’)
一方式3’は以下の式である。
-(a+b)x+ab=0 (式3’)
式4’が式3’と等しいためには、
       <式4’><式3’>
の項:      m=1     (式5)
xyの項:  (m+n)=0     (式6)
xの項:    -5m=-(a+b) (式7)
定数項:    -6n=ab    (式8)

これらの式5から式8までの式のうち式7と式8は、値が定められていない数aとbを定める式であるので、mとnの値を制限する式ではないので、無視して良い。

よって、以下の式でmとnを定める。
m=1     (式5)
(m+n)=0 (式6)
式5を式6に代入して、
n=-1
が得られる。
m=1と、n=-1とを式4’に代入する。
mx+(m+n)xy-5mx-6n=0 (式4’)
-5x+6=0
これが式3’の形の式である。
因数分解して
(X-2)(X-3)=0 (式3)
が得られる。

(注意)この式は、式1’と式2’を加えて得た式3であるので、式1と式2の線の交点AとBを通る。

以上の計算で得た以下の式の連立方程式は(式1)と(式2)の連立方程式を変形して求めたので、元の式1と式2の連立方程式と同じ解を与える。
(直線1)  x+y=5        (式1)
(2直線3) (X-2)(X-3)=0 (式3)
すなわち、上の式の直線1と(2直線3)との交点は、直線1と曲線2の交点A、Bと同じ点である。


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