2011年4月13日水曜日

第4講1節 加法定理とは(1)

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

以下の加法定理を導く計算は覚えにくいかもしれません。
ベクトルの内積を学んだ人には、「加法定理とは(2)」
の計算の方が分かり易いので、そちらを読んでみてください。

佐藤の数学教科書で、cosの加法定理を以下のようにして導いています。

上図のように、半径が1の単位円上の2つの点WとSがあり、
点Wの偏角はαとし、点Sの偏角はβとする。
その2つの点の偏角の差β-α=θの余弦cos(θ)を求める。

点Wの座標(w,w)と点Sの座標(s,s)とαとβとθの間には以下の関係があります。
(なお、上図の様に添え字を付けてあらわした座標記号を使い、点の名前WとSを引き継いだ記号であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです)
余弦定理により
各座標をαとβの三角関数で置き換えると、
(式2)は、cosの加法定理です。
この形であらわしたcosの加法定理は、2項を足し算した公式なので覚え易いと思います。

(sinの加法定理)
また、sinの加法定理は、上の式のcosをsinを用いた形に変えることで導けます。
sin((π/2)-(β-α))
=cosβcosα+sinβsinα
ここで、
(π/2)-β=γ
と置き換え、
β=(π/2)-γで書き換えます。
sin(γ+α)
=cos((π/2)-γ)・cosα
+sin((π/2)-γ)・sinα
sin(γ+α)=sin(γ)・cosα+cos(γ)・sinα
sin(γ+α)=sinγcosα+cosγsinα (式3)
(式3)は、sinの加法定理です。
この形であらわしたsinの加法定理は、2項を足し算した公式なので覚え易いと思います。

(sinの加法定理のその他の証明) 
先ず、以下の三角形を考えて3辺の長さを以下の様に計算する。
この辺BCの長さaについては:
BC=2RsinA ,
でもある。
よって、
BC=2RsinA=2R(sinCcosB+sinBcosC) ,
sinA=sinCcosB+sinBcosC ,
sin(π-B-C)=sinCcosB+sinBcosC ,
sin(B+C)=sinCcosB+sinBcosC ,
(証明おわり)

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