2011年4月15日金曜日

第4講2節 加法定理(等式の証明(1))

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【難問】三角形ABCにおいて
2cosA+cosB+cosC=2 (式1)
が成り立っていれば、
2sinA=sinB+sinC (式2)
が成り立つことを証明せよ。

(注意)この問題は、「加法定理」の例題として出されていましたが、
必ずしも加法定理を使って解くものとは限らない。
以下に説明する証明の計算でも加法定理は使わないで証明する。
そして、三角形の正弦定理sinA/a=1/(2R)・・・を使うことが、解答のために本質的に重要。

【重要な注意】
式1のcosの式を、加法定理その他の三角関数の変換定理で変換しても、式2に至りません。そのように、三角関数の計算の自由度は低いです(加法定理などで変換できる式も少しはありますが)。
そのため、三角関数(特に三角形の角度の三角関数)問題を自由に解くためには、三角関数の式を、なるべく、ベクトルの式やxy座標の式に変えて計算する必要があります。

(予備知識)
受験問題のときは、三角形の角度のsin、cos(三角関数)の式の証明問題は、三角関数の式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。ベクトルを利用して図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

(問題をより易しい問題に変換してから解くこと)
証明すべき対象の
2sinA=sinB+sinC (式2)
を直接証明しようとする前に、この式を、図形の問題として、わかる限り、問題をかみくだいて易しい問題に変換しておいてから問題を解きます。

三角形の正弦定理sinA/a=1/(2R)・・・を使うと、
2sinA=sinB+sinC (式2)
は、以下の式に書き直せます。
2(a/(2R))=(b/(2R))+(c/(2R))
2a-b-c=0 (式3)
問題がここまで易しくなります。
三角形の辺の長さの関係の式3を証明すれば良いです。

(式1の変形の方針)
正弦定理を使って、証明するべき式2のsinを消去して易しくしたように、ベクトルの内積の式を使って、元の条件の、式1のcosを消去します。

この式を使って、式1を以下のように書き直します。
又は、ベクトルMとNの内積=bc

ベクトルMとNの内積=bcの場合は∠A=0の場合である。
∠A=0の場合には、式3が成り立つとは限らない。

 ∠A>0の場合には、式3が成り立つ。

リンク:
複素数平面を使った解答
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