2011年5月1日日曜日

第5講3節 和と積の公式 覚えておくべき三角形の公式

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

以下の、三角形の角度の公式を覚えておくと便利です。

【問1】三角形ABCの角度の以下の公式を証明せよ
sin((A+B-C)/2)=cosC
sin((B+C-A)/2)=cosA
sin((C+A-B)/2)=cosB

cos((A+B-C)/2)=sinC
cos((B+C-A)/2)=sinA
cos((C+A-B)/2)=sinB

(証明開始)
sin((A+B-C)/2)=sin((A+B+C-2C)/2)
=sin((π/2)-C)=cosC
(証明おわり)
 他の式の証明も同様である。

【問2】三角形ABCの角度の以下の公式を証明せよ
sin(A+B-C)=sin(2C)
sin(B+C-A)=sin(2A)
sin(C+A-B)=sin(2B)

(証明開始)
sin(A+B-C)=sin(A+B+C-2C)
=sin(π-2C)=sin(2C)
(証明おわり)
他の式の証明も同様である。

【問3】三角形ABCの角度の以下の公式を証明せよ
cos(A+B-C)=-cos(2C)
cos(B+C-A)=-cos(2A)
cos(C+A-B)=-cos(2B)

(証明開始)
cos(A+B-C)=cos(A+B+C-2C)
=cos(π-2C)=-cos(-2C)=-cos(2C)
(証明おわり)
他の式の証明も同様である。

上の公式を覚えておくと、三角形の三角関数の式の証明がやさしくなります。

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