2011年5月1日日曜日

第5講3節 和と積の公式 練習問題(5)

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【難問】三角形ABCにおいて
2cosA+cosB+cosC=2 (式1)
が成り立っていれば、
2sinA=sinB+sinC (式2)
が成り立つことを証明せよ。
 
この問題は、「第4講2節 加法定理(等式の証明(1))」で解いた問題です。
 【重要な注意】
三角関数(特に三角形の角度の三角関数)の問題を自由に解くためには、三角関数の式を、なるべく、ベクトルの式やxy座標の式に変えて計算する必要があります。

(問題をより易しい問題に変換してから解くこと)
「第4講2節 加法定理(等式の証明(1))」のように解くのが近道ですが、
以下では、どうしても、三角関数の和と積の公式を使ってこの問題を解きたい人のために、和と積の公式を使って遠回りして問題を解きます。

(解答の方針)
証明すべき対象の
2sinA=sinB+sinC (式2)
を直接証明しようとする前に、この式を、できる限り、問題をかみくだいて易しい問題に変換しておいてから問題を解きます。

式2は、3つの項の関係式であるから難しい式になっています。そのため、この式を2つの項だけであらわされる、もっと単純な式に変換しておいてから、問題を解く方針で問題を解きます。

また、式1についても、式2同様に3つの項からなるので難しい式です。この式1も、式2と同様に、2つの項だけであらわされる単純な式に変換して、その上で、その単純な式同士を比較して問題を解きます。

(解答開始)
式2を、以下のように変形して、もっと単純な式に変換します。
ここで、∠Aが180°では無いものとする。
すなわち、
であるものとする。
上に式をこの0で無い項で割り算すると以下の式が得られる。

こうして、式2は、式3のように、2つの項の関係であらわせました。
次に、式1を、変形して2つの項の関係式に変換します。

ここで、
が成り立っているものとする。すなわち、∠A=0となるつぶれた三角形が無いものとする。
その場合は、この0で無い項で上の式を割り算して以下の式が得られる。
式1は、式4のように、2つの項の関係であらわせました。
この式4は、式3と同じ式です。
よって、式1と式2は同じ式3(=式4)に帰着することがわかりました。
(証明おわり)

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