2011年7月30日土曜日

三次関数の曲線の接線の残りの交点

「微分・積分」の勉強

以下の問題は、微分の基礎知識を勉強した後で解いてください。

【問2】三次関数の曲線y=xの(x=1)となる点の接線が再びその曲線に交わる残りの交点を求めよ。

(解答の方針)
f(x)を微分可能な関数として、曲線y=f(x)のx=aにおける接線の方程式は、
y=f’(a)(x-a)+f(a)
である。
この公式を用いて、接線の方程式を求めて、それから、その接線と曲線の交点を求める解答方法が、
最初に勉強すべき解答方法です。

(解答開始)
f(x)=x
微分の公式により
f’(x)=3・x
f(1)=1=1
f’(1)=3・1=3
接線の方程式は、
y=3(x-1)+1
この接線と曲線の方程式の交点のx座標を求める方程式は、以下の式になる。
=3(x-1)+1
-3x+2=0
(x-1)(x+2)=0
接線のx=1に関する式(x-1)が二乗になって重根になり、それ以外の交点に関する式(x+2)が1つできて、それらの積に方程式が因数分解できる。

接線が再び曲線に交差する残りの交点は、
x=-2
y=(-2)=-8
よって、残りの交点の座標は、
(-2,-8)
(解答おわり)

【別解】
この問題を上の解き方で解いた結果、もう少し楽に解答を得る方法がわかってきます。

その楽な解答方法とは、以下のようにしてわかります。

接線の方程式をy=mx+nとだけ書いて、その接線と曲線の式y=xとの残りの交点(a,b)を与える式を書くと、以下の式で与えられます。
=mx+n
-mx-n=0
この式は、
(x-1)(x-a)=0
になります。
すなわち、
-mx-n=(x-1)(x-a)
の係数だけを書くと、
0=-2-a
∴ a=-2
接線の式のmとnの値がわからなくても、交点のx座標a=-2がわかりました。
b=(-2)=-8
よって、残りの交点の座標は、
(-2,-8)
(解答おわり)

このように、楽に答えが解けました。

この楽な解き方は、どの三次関数の曲線の接線の残りの交点を求めるときでも、使えます。

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