2011年8月9日火曜日

円と放物線の接線(1)

「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【問1】hの値を変えたとき、
放物線 y=x/4+h (式1)
と、円 x+(y-1)=1 (式2)
とが接する場合に、その接点(x,y)の値を求めよ。

(解答の方針)
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。

(解答)
(1)
接点(x,y)において、 
式1から、
放物線 y=(x/4)+h  (式1’)
式2から、
円 x+(y-1)=1 (式2’) 


(2)
式1の放物線の接点(x,y)における接線の傾きy’は、式1の関数をxで微分して計算し、
y’=2x/4=x/2 (式3)
(3)
式2の円の接点(x,y)における接線の傾きは、
法線の傾き(y-1)/xの逆数に(-1)を掛け算したものであって、
y’=-x/(y-1) (式4)

(4)
式3と式4の接線の傾きy’の値が等しいので、
この式5を解くと、
x=0 (式6)
or
y-1=-2 (式7)
 

式2から -1≦y-1≦1
であるので、式7は不適。
よって、式6のみが解である。
 

(5)
式6を式2に代入する。
(y-1)=1
(y-1)=±1
y=2
or
y=0
 

接点は、
(x,y)=(0,0) (式8)
or
(x,y)=(0,2) (式9)
 

式8の場合に、式8を式1に代入する。
h=0
式9の場合に、式9を式1に代入する。
h=2
よって
接点=(0,0)でh=0
or
接点=(0,2)でh=2
(解答おわり)


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