2011年8月9日火曜日

円と放物線の接線(1)

「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【問1】hの値を変えたとき、
放物線 y=x/4+h (式1)
と、円 x+(y-1)=1 (式2)
とが接する場合に、その接点(a,b)の値を求めよ。

(解答の方針)
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。

(解答)
(1)
接点(a,b)において、 
式1から、
放物線 b=(a/4)+h  (式3)
式2から、
円 a+(b-1)=1 (式4) 


(2)
式1の放物線の接点(a,b)における接線の傾きは、式1の関数をxで微分して計算し、
2a/4=a/2 
(3)
式2の円の接点(a,b)における接線の傾きは、
法線の傾き(b-1)/aの逆数に(-1)を掛け算したものであって、
-a/(b-1)

(4)
この2つの接線の傾きの値が等しいので、
a/2=-a/(b-1)
a{(1/2)+(1/(b-1))}=0 (式5)
 

この式5を解くと、
a=0 (式6)
or
b-1=-2 (式7)
 

式4から -1≦b-1≦1
であるので、式7は不適。
よって、式6のみが解である。
 

(5)
式6を式4に代入する。
(b-1)=1
(b-1)=±1
b=2
or
b=0
 

接点は、
(a,b)=(0,0) (式8)
or
(a,b)=(0,2) (式9)
 

式8の場合に、式8を式3に代入する。
h=0
式9の場合に、式9を式3に代入する。
h=2
よって
接点=(0,0)でh=0
or
接点=(0,2)でh=2
(解答おわり)


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