2011年8月11日木曜日

円と放物線の接線(3)

「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【研究問題】以下の問題は高校の数学では解けません。入学試験にも出ない問題です。
しかし、研究のために、この問題を解いてみます。

【問1】
hの値を変えたとき、
放物線 y=(x+1)+h (式1)
と、円 x+y=1 (式2)
とが接する場合に、その接点(a,b)の値を求めよ。

(解答の方針)
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。

(解答)
(1)
接点(a,b)において、 
式1から、
放物線 b=(a+1)+h  (式3)
式2から、
円 a+b=1 (式4) 


(2)
式1の放物線の接点(a,b)における接線の傾きは、式1の関数をxで微分して計算し、
2(a+1)
(3)
式2の円の接点(a,b)における接線の傾きは、
法線の傾きb/aの逆数に(-1)を掛け算したものであって、
-a/b

(4)
この2つの接線の傾きの値が等しいので、
2(a+1)=-a/b
b=-a/(2(a+1)) (式5)
 

(5)
この式5を式4に代入すると、

+(a/(2(a+1))=1
(a-1)(a+1/4=0
+2/4-2aー1=0 (式6)
この式6の四次方程式の正確な解は見つかりません。
そのため、この式6の左辺の4次関数のグラフを、a=xとするxy座標に書いて、4次方程式の答えをグラフで求めます。

そのために、EXCELを使ってグラフを書きます。
この際、 そのグラフの描き方を勉強しておいてください。
その結果、以下のグラフが得られました。
 
グラフから、y=0となるx=aは、
a≒0.97 (式7)
or
a≒-0.61 (式8)


(5-1)

a≒0.97の場合、
式5を計算すると、
b≒-0.25
式3からhを計算すると、
h≒-4.13


(5-2)
a≒-0.61の場合、
式5を計算すると、
b≒0.78
式3からhを計算すると、
h≒0.63
(解答おわり)

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