勉強しよう数学: 円（半径ｒ）と直線の交点を座標軸を回転して解く

【問１】座標原点を中心にする半径ｒの円（ｘ^２＋ｙ^２＝ｒ^２）と直線ａｘ＋ｂｙ＝ｃとの交点の座標を求めよ。

（地道な計算練習を心がけよう）
　直観的に答えを求める解法を見つける感覚を磨くことも必要ですが、その他に、数学の力を薄っぺらな表面的なものにしないために、地道に方程式を解く計算練習を心がけましょう。
（１）方程式の難しい式を単純な形の式にして無理無く計算するコツを身につけましょう。

（方程式を計算するコツ）
　複雑な式の項を新たな記号の項に置き換えるときは、用いる新たな記号は、その記号の値の単位を最小単位にする方が良い。
例えば、記号ａやｂやｒの単位である[長さ]は最小単位です。一方、記号ｃの単位は[面積]であって、[長さ]の２乗であり、最小単位ではありません。
　そのため、ｃは[長さ]の単位を持つαの２乗に置き換えることで、式の計算を見通し良くします。

　方程式では、足し合わされる項は必ず単位の同じ項のみが足し合わされます。足し合わされる項の単位が食い違っている式は誤りです。

その単位の食い違い、すなわち式の間違いを発見し易くするために、できれば、式の全ての記号を、単位が[長さ]の記号に揃えることが望ましいのです。

（なお、単位が無い無次元量の記号もありますので、無次元量の記号には目印を付けて分かりやすくします）

【解答１】
（先ず、方程式を書きます）

この第１項の係数を単純化する記号ｄを以下で定義します。

このようにｄの２乗の式で定義する理由は：

上の式のように、覚え易い整った式を導入するためです。
覚え易い式を導入することで、
この式を応用してａを直ぐにｄに変換するアイデアを出やすくするためです。
　特に、式（６’）の右辺の式が現れたら直ぐに気付いて１に単純化できるようにするためです。

式（５）に式（６）を代入して式の形を簡単にします。

以下で、この式（７）の右辺を単純化します。

上の式の計算では、式（６’）を想起して使いました。
　上の式の中に式（６’）の形の項が現れた際に、それを速やかに発見して式を単純化できるためには、ｄを導入した際に生まれた式（６’）が覚え易い事が必要でした。

こうして得られた結果を式（７）に代入します。

この式（８）の記号ｄを元の記号に戻すため、記号ｄの式を整理します。

式（８）に、式（９）と式（３）と式（４）を代入します。

以下の計算でこのルートの中の式を何度も書く手間を省くため、√ｇを定義しました。
　√ｇの形でｇを定義する理由は、この√ｇは仮の形であって、計算の最後には速やかに元の式に戻すために、目印として√を加えてｇを定義します。

以上の計算で得たｘとｙの式を以下の様に整理します。

このように地道に計算して、交点ＡとＢの座標が求められた。
（解答おわり）

（ベクトルの概念で見ると方程式の風景が変わって見える）
　次に、ベクトルの観点で問題の方程式を見ることで見える計算の道筋に従って、やはり地道に問題を解いてみます。
【解答２】
先ず、方程式１と２から始める。

この式２においては、記号ａと似ている記号αを、記号ｗに書き換えて、記号を間違える計算ミスを防ぐようにしました。

次に、（ａ，ｂ）というベクトルの単位ベクトル（長さが１のベクトル）の係数を使って式２を式３に書き直す。

次に、点（ｘ．ｙ）の座標を、座標系を、ベクトル（ａ，ｂ）の方向のｓ座標軸と、それに垂直なベクトル（－ｂ，ａ）の方向のｔ座標軸で表した点の座標（ｓ，ｔ）であらわす。

その点の座標値（ｓ，ｔ）と（ｘ，ｙ）は上の式４と式５で変換できる。
ベクトルの視点から見ると、式４と式５は合わせて、以下のベクトルの合成の式になります。

　この式４と式５で定められる写像変換では、２つの（ｘ，ｙ）の点は２つの（ｓ，ｔ）の点であらわされるし、逆に２つの（ｓ，ｙ）の点は、２つの（ｘ，ｙ）の点であらわされ、（ｘ，ｙ）と（ｓ，ｔ）が１対１対応の写像変換で結び付いています。しかも、この変換は、単に回転させた座標軸でグラフの座標を見るのと同じ変換であって、癖の無い、筋の良い写像変換です。

　この問題は、（ｘ，ｙ）であらわされる円の式と直線の式の交点を求めることです。
その問題を解くことは、（ｓ，ｔ）であらわされる円の式と直線の式の交点を求め、その解を使って式４と式５で求められます。

式４と式５を使って、式１の円の式を変数ｓと変数ｔで表してみます。