佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】座標原点を中心にする半径１の円（ｘ２＋ｙ２＝１）と、直線３ｘ＋２ｙ＝ｋとが接する場合のｋの値を求めよ。
（地道な計算練習を心がけよう）
直観的に答えを求める解法を見つける感覚を磨くことも必要ですが、その他に、数学の力を薄っぺらな表面的なものにしないために、地道に方程式を解く計算練習を心がけましょう。
（１）方程式の難しい式を単純な形の式にして無理無く計算するコツを身につけましょう。
（２）式が急に易しくなる計算の大切な分岐点をしっかり覚えましょう。
【解答１】
（まず、方程式を書く）
上の計算では、計算の式をなるべく単純な形の式で記述するため、複雑な形の項をａとｋ２に置き換えて表します。
この整った式で、ｘの解が重根になり１つの値のみが解になる場合が、直線が円に接する条件を満足します。それは、上の式で右辺が０になる場合です。
右辺が０になるためには、右辺の分子が０になるだけで良いので、その分子を求めるために、以下の様に、分母を共通化させた式に変形します。
右辺が０になるためには、右辺の分子が０になるだけで良いので、以下の式に単純化されます。
ここで、ａとｋ２の式(3)と式(4)を代入してｋの値を計算します。
よって、もとめるｋの値は、
ｋ＝±√１３
の場合に、直線が円に接します。
これが直線が円に接する場合のｋの値です。
（解答おわり）
（ベクトルの概念で見ると方程式の風景が変わって見える）
次に、ベクトルの観点で問題の方程式を見ることで見える計算の道筋に従って、やはり地道に問題を解いてみます。
【解答２】
先ず、方程式１と２から始める。
（３，２）というベクトルの単位ベクトル（長さが１のベクトル）の係数を使って式２を式３に書き直す。
次に、点（ｘ．ｙ）の座標を、座標系を、（３，２）の単位ベクトルの方向のｓ座標軸と、それに垂直な方向、すなわちベクトル（－２，３）の方向のｔ座標軸で表した点の座標（ｓ，ｔ）であらわす。
その点の座標値（ｓ，ｔ）と（ｘ，ｙ）は上の式４と式５で変換できる。
（これは、ベクトルによる座標軸の回転変換の公式の応用です）
ベクトルの視点から見ると、式４と式５は合わせて、以下のベクトルの合成の式に見えます。
この問題は、（ｘ，ｙ）であらわされる円の式と直線の式の交点が、２つの点では無く、１つの点になる条件を求めることです。
その問題を解くことは、（ｓ，ｔ）であらわされる円の式と直線の式の交点が、２つの点では無く、１つの点になる条件を求める問題を解くことと同じです。
なぜなら、２つの（ｘ，ｙ）の点は２つの（ｓ，ｔ）の点であらわされるし、２つの（ｓ，ｙ）の点の解があれば、２つの（ｘ，ｙ）の点の解があるからです。
（これは、（ｘ，ｙ）と（ｓ，ｔ）が１対１対応の写像変換で結び付いていることを意味します。）
式４と式５を使って、式１の円の式を変数ｓと変数ｔで表してみます。
次に、式４と式５を使って、式３の直線の式を変数ｓと変数ｔで表してみます。
式６で円があらわされ、式７で直線があらわされました。
この直線の式７を円の式６に代入して、交点（ｓ，ｔ）の解が１つだけになる条件を求めれば、それが問題の解です。
式７と式８によって、
交点（ｓ，ｔ）の解が、ｔの値がプラスとマイナスの２つの値になる解が得られました。
この交点（ｓ，ｔ）が１つだけになるのは、
ｔ＝０
になる場合です。
その場合は：
式１０が与えるｋの値が、求める解であり、
これが直線が円に接する場合のｋの値です。
（解答おわり）
（備考１）
パラメータｋを変えて、２曲線が接触する条件を求める問題では、ｋの値が所定の値で接点（ｘ，ｙ）が１つになり、その値の近くのｋの値では、２曲線の交点（ｘ，ｙ）が複数の点になることで判定する。接点（ｘ，ｙ）のｘ座標かｙ座標の一方の座標値だけを見て、その座標値が１つになるか複数になるかだけで判定してはいけない。
（備考２：座標変換について）
このベクトルの視点に基づいた解き方では、式４と式５で定められる写像変換で座標値（ｘ，ｙ）を座標値（ｓ，ｔ）に変換しました。
この写像変換では、２つの（ｘ，ｙ）の点は２つの（ｓ，ｔ）の点であらわされるし、逆に２つの（ｓ，ｙ）の点は、２つの（ｘ，ｙ）の点であらわされ、（ｘ，ｙ）と（ｓ，ｔ）が１対１対応の写像変換で結び付いています。しかも、この写像変換は、回転させた座標軸でグラフの座標を見るのと同じ変換であって、癖の無い、筋の良い写像変換です。
この様に座標軸を回転させる写像変換以外に、座標軸を斜行座標軸に変換する写像変換を使うことでも、２つのグラフが接点を持つ条件を求める問題に使うことができます。
しかし、２つの（ｓ，ｔ）の点に１つの（ｘ，ｙ）の点が対応するような、１対１で無い写像変換は使えません。
また、座標点（ｓ，ｔ）がｓｔ座標平面上に描くグラフの形が、座標点（ｘ，ｙ）がｘｙ座標平面上に描くグラフの形から大きく歪んで、
ｘｙ座標平面上で交差するグラフがｓｔ座標平面上で接するグラフに変換されるような写像変換も使えず、
ｘｙ座標平面上で接するグラフがｓｔ座標平面上で交差するグラフに変換される写像変換も使えません。
リンク：
ベクトルによる座標軸の回転変換の公式
高校数学の目次
（地道な計算練習を心がけよう）
直観的に答えを求める解法を見つける感覚を磨くことも必要ですが、その他に、数学の力を薄っぺらな表面的なものにしないために、地道に方程式を解く計算練習を心がけましょう。
（１）方程式の難しい式を単純な形の式にして無理無く計算するコツを身につけましょう。
（２）式が急に易しくなる計算の大切な分岐点をしっかり覚えましょう。
【解答１】
（まず、方程式を書く）
右辺が０になるためには、右辺の分子が０になるだけで良いので、その分子を求めるために、以下の様に、分母を共通化させた式に変形します。
ｋ＝±√１３
の場合に、直線が円に接します。
これが直線が円に接する場合のｋの値です。
（解答おわり）
（ベクトルの概念で見ると方程式の風景が変わって見える）
次に、ベクトルの観点で問題の方程式を見ることで見える計算の道筋に従って、やはり地道に問題を解いてみます。
【解答２】
先ず、方程式１と２から始める。
（これは、ベクトルによる座標軸の回転変換の公式の応用です）
ベクトルの視点から見ると、式４と式５は合わせて、以下のベクトルの合成の式に見えます。
その問題を解くことは、（ｓ，ｔ）であらわされる円の式と直線の式の交点が、２つの点では無く、１つの点になる条件を求める問題を解くことと同じです。
なぜなら、２つの（ｘ，ｙ）の点は２つの（ｓ，ｔ）の点であらわされるし、２つの（ｓ，ｙ）の点の解があれば、２つの（ｘ，ｙ）の点の解があるからです。
（これは、（ｘ，ｙ）と（ｓ，ｔ）が１対１対応の写像変換で結び付いていることを意味します。）
式４と式５を使って、式１の円の式を変数ｓと変数ｔで表してみます。
この直線の式７を円の式６に代入して、交点（ｓ，ｔ）の解が１つだけになる条件を求めれば、それが問題の解です。
交点（ｓ，ｔ）の解が、ｔの値がプラスとマイナスの２つの値になる解が得られました。
この交点（ｓ，ｔ）が１つだけになるのは、
ｔ＝０
になる場合です。
その場合は：
これが直線が円に接する場合のｋの値です。
（解答おわり）
（備考１）
パラメータｋを変えて、２曲線が接触する条件を求める問題では、ｋの値が所定の値で接点（ｘ，ｙ）が１つになり、その値の近くのｋの値では、２曲線の交点（ｘ，ｙ）が複数の点になることで判定する。接点（ｘ，ｙ）のｘ座標かｙ座標の一方の座標値だけを見て、その座標値が１つになるか複数になるかだけで判定してはいけない。
（備考２：座標変換について）
このベクトルの視点に基づいた解き方では、式４と式５で定められる写像変換で座標値（ｘ，ｙ）を座標値（ｓ，ｔ）に変換しました。
この写像変換では、２つの（ｘ，ｙ）の点は２つの（ｓ，ｔ）の点であらわされるし、逆に２つの（ｓ，ｙ）の点は、２つの（ｘ，ｙ）の点であらわされ、（ｘ，ｙ）と（ｓ，ｔ）が１対１対応の写像変換で結び付いています。しかも、この写像変換は、回転させた座標軸でグラフの座標を見るのと同じ変換であって、癖の無い、筋の良い写像変換です。
この様に座標軸を回転させる写像変換以外に、座標軸を斜行座標軸に変換する写像変換を使うことでも、２つのグラフが接点を持つ条件を求める問題に使うことができます。
しかし、２つの（ｓ，ｔ）の点に１つの（ｘ，ｙ）の点が対応するような、１対１で無い写像変換は使えません。
また、座標点（ｓ，ｔ）がｓｔ座標平面上に描くグラフの形が、座標点（ｘ，ｙ）がｘｙ座標平面上に描くグラフの形から大きく歪んで、
ｘｙ座標平面上で交差するグラフがｓｔ座標平面上で接するグラフに変換されるような写像変換も使えず、
ｘｙ座標平面上で接するグラフがｓｔ座標平面上で交差するグラフに変換される写像変換も使えません。
リンク：
ベクトルによる座標軸の回転変換の公式
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