楕円同士が接触する問題の解き方

数Ⅲ　「いろいろな曲線」
エクセル表計算ソフトの勧め

楕円の式は数Ⅲで学びます。
回転した楕円の式もあらわせます。

【問題】
以下の式１の楕円と式２の楕円が接するようにβを定めよ。

【解答１】
下図は、２つの楕円のグラフをエクセル表計算ソフトを使って、散布図グラフであらわしたグラフです。

　とにかく楽に問題を解く方法を探すのが「数学の心」 なので、
エクセル表計算ソフトを使えば問題を解くのが楽になるなら、
そのソフトを大いに使うべきです。

　上の楕円の中心のＹ座標 β を少しづつ変えて、楕円同士が接触する場合の楕円の中心のＹ座標 β を求めてみます。

　エクセル表計算ソフトを使って、
２つの楕円が接触する場合が、近似的に、
β＝３．３５
の場合であることを求めることができました。

式１の楕円と式２の楕円の寸法を定めてから、解の β を計算しようとすると：
（１）図形が交差する条件を表した４次方程式を書いて、
（２）次に、図形が接する条件を表した３次方程式を書いて、
（３）両方の方程式が共通する解を持つものとして、ユークリッドの互除法で、順次に方程式の次数を下げていき、最後に β のみの式を求める。
　この方法で β の条件をあわらす方程式を計算するのは、（３）の計算をしているうちに、βの式がどんどん複雑になって、とても処理しきれない、大変難しい問題でした。

　それに対して、円の寸法を定めずに、
（１）図形の接点Ａを定める。
（２）Ａ点での接線の傾きを求める。
（３）そのＡ点で接する円の寸法と円の中心座標を計算する。
方法ならば、スムーズに計算が進みます。
以下に、この方法で解く計算手順を書きます。

【解答２】
　以下の式２の楕円の形を変えるパラメータ ｒ を導入する。そして接点Ａのｘ座標を定め、その接点Ａで楕円２が楕円１に接触するように種々のパラメータを定める式を計算することにする。

すなわち、楕円同士の接点Ａのｘ座標をαとした場合の各パラメータを計算する式を以下で求める。

（１）先ず、楕円１の接点での傾きの式を求める。
式１×８：

（２）次に、楕円２の接点での傾きの式を求める。
式２×４：

（３）楕円１と２の接点Ａでの傾きが等しいとする。

この式９は、パラメータβを接点のｘ座標とｙ座標から計算する式である。
（４）次に、楕円１の接点ＡでのＹ座標を計算する。

この式１０は、接点ＡのＹ座標を計算する式である。
このうち、楕円２が一番高い位置で楕円２に接する場合をあらわす以下の式１１を採用する。

（５）次に、接点Ａで接する楕円２の寸法のパラメータ ｒ を接点Ａの座標で表す式を計算する。

以上の計算で得た、接点Ａのｘ座標αを最初に決めた場合に、その接点Ａで楕円１と２が接する場合の各パラメータを与える式を以下に整理する。

 接点Ａのｘ座標αの値を変えて、接点Ａで接する楕円２の寸法のパラメータ ｒ が１になる場合をエクセル表計算ソフトを使って計算した結果、以下の値を得た。

以上の計算の結果、
式１であらわされる楕円と、式２の楕円でｒ＝１で定められる楕円とが接する場合のβの値は、約３．３６である。
（解答おわり）

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