「微分・積分」の勉強
以下の式の極限を求めることは、微分積分のとても大切なポイントです。
以下でこの式の極限を求めます。
《循環論法に注意すること》
進学校に通われている方なら、学校の授業での、
lim[x→0]sinx/x=1
の証明は循環論法で、高校数学では実は証明できないという話をされたことがあるかと思います。（扇形の面積の式を使うから循環論法になる）
循環論法というのは、ある事柄を証明するときに、その事柄を正しいと仮定して話をしてしまっていることを意味します。
【計算開始】
以下に、循環論法ではない、この極限の計算を示します。
以下の単位円の角度を考える。
この図の、
線分ＡＨ＝ｓｉｎθ と円弧ＡＢ＝θ の大小関係を、
それらの線分を以下の平行線で分割した微小部分の大小関係から求める。
円弧ＡＢを平行線で分割した微小ベクトルは平行線への射影成分を持つが、線分ＡＨを平行線で分割した微小ベクトルは平行線への射影成分を持たない。
そのため、結局、式３の大小関係がある。
次に、円弧ＡＢ＝θと線分ＴＢ＝ｔａｎθ の大小関係を、
それらの線分を以下の平行線で分割した微小部分の大小関係から求める。
円弧ＡＢを平行線で分割した微小ベクトルの平行線への射影成分Ｐθ の長さよりも、線分ＴＢを平行線で分割した微小ベクトルの平行線への射影成分Ｐｔ の長さの方が長い。
そのため、結局、θ とｔａｎθ の大小関係が分かった。
この式４の大小関係と式３の大小関係を合わせて整理すると以下の式５になる。
この大小関係の式５をθで割り算した式の極限を求める。
その計算の際に、極限では、
ｆ＜ｇ＜ｈ
が、
ｆ≦ｇ≦ｈ
となり得るので、
式５の不等号の極限には等号も加えて、以下の計算をする。
（計算おわり）
この様に、ｓｉｎθの式を間に挟み込む２つの式の極限を計算することで、
式６の様に挟みこまれたｓｉｎθの式の極限が計算できました。
これが「極限」の極意（奥義）です。
（注意）この計算は、厳密には、θ＜０の場合も確認する必要があります。
式(6)の極限の定理を使うと、以下の微分が計算できます。
この問題で微分を求めようと計算を進めます。
この式２に、式(6)を代入することで、計算を先に進められます。
リンク：
円の面積
sinx/xの極限は？x→0とx→∞の場合を証明付きで東大医学部生が教えます！
高校数学の目次
以下の式の極限を求めることは、微分積分のとても大切なポイントです。
《循環論法に注意すること》
進学校に通われている方なら、学校の授業での、
lim[x→0]sinx/x=1
の証明は循環論法で、高校数学では実は証明できないという話をされたことがあるかと思います。（扇形の面積の式を使うから循環論法になる）
循環論法というのは、ある事柄を証明するときに、その事柄を正しいと仮定して話をしてしまっていることを意味します。
【計算開始】
以下に、循環論法ではない、この極限の計算を示します。
以下の単位円の角度を考える。
線分ＡＨ＝ｓｉｎθ と円弧ＡＢ＝θ の大小関係を、
それらの線分を以下の平行線で分割した微小部分の大小関係から求める。
そのため、結局、式３の大小関係がある。
次に、円弧ＡＢ＝θと線分ＴＢ＝ｔａｎθ の大小関係を、
それらの線分を以下の平行線で分割した微小部分の大小関係から求める。
そのため、結局、θ とｔａｎθ の大小関係が分かった。
その計算の際に、極限では、
ｆ＜ｇ＜ｈ
が、
ｆ≦ｇ≦ｈ
となり得るので、
式５の不等号の極限には等号も加えて、以下の計算をする。
この様に、ｓｉｎθの式を間に挟み込む２つの式の極限を計算することで、
式６の様に挟みこまれたｓｉｎθの式の極限が計算できました。
これが「極限」の極意（奥義）です。
（注意）この計算は、厳密には、θ＜０の場合も確認する必要があります。
式(6)の極限の定理を使うと、以下の微分が計算できます。
この式２に、式(6)を代入することで、計算を先に進められます。
リンク：
円の面積
sinx/xの極限は？x→0とx→∞の場合を証明付きで東大医学部生が教えます！
高校数学の目次
0 件のコメント:
コメントを投稿