2017年9月13日水曜日

2元連立方程式をベクトルの内積により計算する

以下の連立方程式を考える。
この連立方程式は、以下のように定義したベクトルの内積の式5と6であらわすことができる。

この連立方程式を以下のようにしてベクトルを使って解く。

(解答はじめ)
 先ず、式3が成り立つので、以下の式7が成り立つ。
すなわち、ベクトルaとcの和のベクトルと、ベクトルaとcの差のベクトルの内積が0になり、それらのベクトルが互いに垂直である。
(これは、以下の図のひし形の対角線の直交の公式をあらあわす)

 ベクトルzを、互いに垂直なベクトルの要素に分解することは容易にできるので、以下でその作業を行う。
ベクトルaとcの和のベクトルに平行な単位ベクトルsと、
ベクトルcとaの差のベクトルに平行な単位ベクトルtを考える。
ベクトルzを、単位ベクトルsとtに平行な要素に分解してあらわす。
 ここで得られた式8は、ベクトルzの解である。

 この式8をベクトルaの要素とベクトルcの要素で整理すると、もっと複雑な、扱いにくい式になる。
ベクトルは、この式8のように、互いに垂直なベクトル毎にまとめる方が単純な式になる。
この式8が、この計算結果によるzの解をあらわす一番単純な式である。
(解答おわり)

(補足1)
 この式8が成り立つことは、以下のようにして確認できる。
問題の式5と式6は以下の式に変形できる。
式8が、この式を満足するので、式8が成り立っている。

(補足2)
 この問題のzの解は、以下の式9であらわすこともできる。

(式8を式9に変換する)
 この式9は、以上とは異なる発想で解いた結果の式であり、式8と等しい式です。以下の計算によって、式8を式9に変換できます。
こうして、式8を式9に変換できました。
(変換おわり)

 式8も式9も、どちらが優れている(単純な)解だと言うことが出来ない、対等な解です。
 式9は、ベクトルaに垂直なベクトルaと、ベクトルcに垂直なベクトルcを加えてあらわした、使うベクトルの数が多い式ですが、式8よりも計算がし易い式であるとも言えそうです。

この式9は、直ぐには導き出せないので、以下のように整理して公式として覚えておいてください。

【ベクトル方程式の公式1】
以下の連立ベクトル方程式の式a1とa2があるとき:
この連立ベクトル方程式の解は:
である。
なぜなら、式a1と式a2のベクトルzに式a3を代入すると、以下の通り、式a1とa2を満足するからである。
(公式おわり)

【ベクトル方程式の公式2】
以下のベクトルzとaとbがあるとき:
ベクトルaとbを反時計回りに90度回転したベクトルとベクトルbを利用して、以下の関係が成り立つ。
(公式おわり)

(補足:公式2の言い換え)
 ベクトルuとwを以下の式で定義する。
このベクトルuとwを使って公式2が以下の形の式であらわせる。
公式2はこの形の式に言い換えた方が覚えやすいかもしれない。

【連立方程式の解の公式3】
 以下の連立方程式の解の公式3もあります。
連立方程式1と2をベクトルの視点で見ると、式13のベクトル方程式をあらわしていると見ることができます。
 ここで、ベクトルeとベクトルfと、それらに垂直なベクトルが下図のように描けます。
ベクトルeに垂直なベクトルeと、ベクトルfに垂直なベクトルfを以下の式14と15であらわし、それらと式13の左右の辺の内積を計算すると以下の計算により、式16と17でxとyの解が得られます。
ここで、以下の式18が成り立ちます。
結局、ベクトル方程式13であらわした連立方程式1と2の未知数xとyが、上の式16と式17で計算できる、
連立方程式の解の公式3が導けました。
この解の公式3の方が覚えやすい公式かもしれない。

リンク:
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