2018年5月24日木曜日

交差する曲線の全ての交点を通る全ての直線

以下で、交差する曲線(直線も曲線の一種)の全ての交点を通る全ての直線を求める方法を調べる。

【課題】2つの曲線:
(直線1)   y=0  (式1)
(放物線2)  y=x (式2)
がある。この2つの曲線の交点を全て(この場合は座標原点のみ)を通る全ての直線の式を求める方法を調べる。

この課題の曲線1(式1)と曲線2(式2)の連立方程式の解が交点(この場合は座標原点)の座標になる。

この式1と式2をどの様に使えば、その交点を全て通る全ての直線の式を求めることができるかを調べる。

(調査研究の開始)
この課題は、以下の形の式を作る問題です。
(直線3) ax+by=c (式4)

(第1の計算方針)
新しい直線の式を求めるには: 式1を、式2に代入すると、以下の式3が得られる。
0= x 
∴ x=0 (式3)
この式3は、新しい直線をあらわす式でもある。

式1と式3を連立すると、
任意のaとbに関して:
ax+by=0 (式4)
が得られる。

この式4は、任意のaとbに関する直線をあらわす式でもある。この式4は、式1の曲線と式2の曲線の全ての交点(原点のみ)を通る。

 こうして、式1を式2に代入する計算をすれば、式1の曲線と式2の曲線の全ての交点を通る全ての直線の式を求めることができることが分かった。

(第2の計算方針)
 式1と式2を重みを付けて足し合わせる計算をしてみる。
式2を変形する。
y- =0  (式2’)
(式2’)ー(式1):
0- =0 
x=0 (式3)
これによっても式3が得られる。
式1と式3を連立すると、
任意のaとbに関して:
ax+by=0 (式4)
が得られる。

(補足)
 この事例の場合は、第2の計算方針によっても、全ての交点を通る全ての直線を求めることができた。
しかし、後で説明する他の事例「円と円の交点」の場合では、第2の計算方針によっては、全ての交点を通る全ての直線を求めることはできない。
 全ての交点を計算するには、先の図のような図を描いて答えを予測できるように計算の見通しを良くした上で、その答えが得られるように計算式を導く事が良いことが分かった。
(計算の見通しを良くするにはベクトルで考える)
 式と図形の計算式の見通しを良くするには、ベクトルの概念を使って、式をまとめて(整理して)考えることが効果的です。そのため、式と図形の計算の学習と並行して、ベクトルの概念も学んでいってください。

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