ひし形の対角線ベクトル変換公式

【ひし形の対角線ベクトル変換公式】
以下の図の、長さの等しいベクトルａとｂでひし形を作る。

　この場合に、以下の式の関係が成り立つ。

 （ひし形の対角線ベクトル変換公式おわり）

【証明１】
この式１の左辺と右辺のベクトルの成分を比較する。

式１の右辺と左辺のベクトルの成分が一致する。
そのため、式１の右辺と左辺は等しい。 

式２は、式１のベクトルｂを－ｂベクトルに置き換えるだけで成り立つ。
（証明１おわり）

【証明２】
以下の図を参照して、ベクトルの分解の公式を使ってベクトルを変換する。 

計算を媒介するベクトルｐを使って、
以下の様にベクトルを変換する計算をする。

上の計算の様に、ベクトルｐを、ベクトルａとｂの和を右回りに９０度回転したベクトルにすると、式３ａが求められ、問題の式が証明できた。

　次に、ベクトルｐを（ベクトルａ－ベクトルｂ）にすると：

式３ｂが求められた。
式３ｂも、他の、ベクトルの変換の式である。
（証明２おわり）

この証明２の過程で得た式３が、式１よりも、より根源的な公式です。しかも、当たり前の形をしていて覚えやすい。そのため、式１を覚えるよりも先に式３を覚えるべきです。

なお、この式３の両辺には、形が異なるが平行なベクトルを選んで式に当てはめる。

  （補足１）
この公式は、ベクトルａ＋ｂが、ベクトルｕ＋ｗに平行である事を示していますが、
ベクトルａの偏角＜ｂの偏角の場合に、平行になり、
ベクトルａの偏角＞ｂの偏角の場合に、逆平行になり向きが逆になり、
状況が異なりますので注意する必要があります。

（補足２）
この公式（式１）は、

であることをあらわしています。
これは、ひし形の対角線の直交の公式をあらわしています。
そのため、この公式は、ひし形の対角線の直交の公式を言い換えた公式であるという意味を持ちます。

リンク：
ひし形の対角線の直交の公式
円の極の座標の解の変換 
複素数平面が、円の２つの接線の交点問題を簡単にする 
高校数学の目次