勉強しよう数学: ベクトルによる座標軸の回転変換の公式

【ベクトルによる座標軸の回転変換の公式】
　ベクトル計算は本質的に、余弦定理に関連する計算に向いています。正弦定理や円周角の定理で解ける問題は、ベクトル計算を使わないで、正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解く方がスムーズに解けます。回転変換についても、円周角の定理を使うのと同様に、正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解く方が良いです。

　正弦定理や円周角の定理で解ける問題がベクトルで解きにくいというベクトル計算の弱点は、計算で使うベクトルａに対して、そのベクトルを９０°回転させたベクトルを対にして使用して計算をすると、その方法は技巧的ですが、このベクトル計算の弱点がある程度補えて、ベクトル計算でも、円周角の定理や正弦定理に合った問題も解けるように改善できます。

　ベクトルの方程式で、回転変換を扱うのも同様な問題があって、回転変換を記述するには：
　下図のように、ベクトルａに対して、そのベクトルａを９０°回転させたベクトルｂを対にして使用すると、回転変換がベクトルを使って表現できるようになり、
ベクトル計算が本質的に持っている弱点を補うことができます。

ベクトルａを左回りに９０°回転させたベクトルｂは以下の式９で作ります。

この図の位置ベクトルＺのＸＹ座標軸で見た座標値を、（ｘ，ｙ）とします。
このベクトルＺを、ベクトルａとｂの合成で式１であらわします。

このベクトルＺの合成の係数ｓとｕは、ベクトルａ方向のｓ座標軸とベクトルｂ方向のｕ座標軸であらわしたベクトルＺの座標値を意味します。
このベクトル方程式１は詳しくは以下の式であらわされます。

この式７と８は、（ｘ，ｙ）を（ｓ，ｕ）で表す座標軸の回転変換の公式をあらわします。
　なお、ベクトルａに垂直なベクトルｂは以下の式９で作りました。

この様にして座標軸の回転変換の公式の７と８が得られましたが、この公式は、考えにくいものでした。
（１）以上では、座標軸を回転させてその新しい座標軸における点の座標値を（ｓ，ｕ）としました。
（２）ベクトル（ｘ，ｙ）を、上記の座標軸の回転方向と逆方向に回転させて、その新しいベクトルの座標値を（ｓ，ｕ）とすると考えることで、上記の（ｓ，ｕ）と同じ（ｓ，ｕ）が求められます。
この（２）の方法の方が考えやすいかもしれません。
この（２）の方法の、ベクトルの回転方法は、この行をクリックした先に書きました。

（ｓとｔをｘとｙであらわす）
　式１のｓとｕは以下の計算で求めます。
（１０）：ベクトルａと式１の両辺の内積をとると、以下の式１０が得られます。