2018年6月12日火曜日

ベクトルによる座標軸の回転変換の公式

【ベクトルによる座標軸の回転変換の公式】
 ベクトル計算は本質的に、余弦定理に関連する計算に向いています。正弦定理や円周角の定理で解ける問題は、ベクトル計算を使わないで、正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解く方がスムーズに解けます。回転変換についても、円周角の定理を使うのと同様に、正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解く方が良いです。

 正弦定理や円周角の定理で解ける問題がベクトルで解きにくいというベクトル計算の弱点は、計算で使うベクトルaに対して、そのベクトルを90°回転させたベクトルを対にして使用して計算をすると、その方法は技巧的ですが、このベクトル計算の弱点がある程度補えて、ベクトル計算でも、円周角の定理や正弦定理に合った問題も解けるように改善できます。

 ベクトルの方程式で、回転変換を扱うのも同様な問題があって、回転変換を記述するには:
 下図のように、ベクトルaに対して、そのベクトルaを90°回転させたベクトルbを対にして使用すると、回転変換がベクトルを使って表現できるようになり、
ベクトル計算が本質的に持っている弱点を補うことができます。
ベクトルaを左回りに90°回転させたベクトルbは以下の式9で作ります。
この図の位置ベクトルZのXY座標軸で見た座標値を、(x,y)とします。
このベクトルZを、ベクトルaとbの合成で式1であらわします。
このベクトルZの合成の係数sとuは、ベクトルa方向のs座標軸とベクトルb方向のu座標軸であらわしたベクトルZの座標値を意味します。
このベクトル方程式1は詳しくは以下の式であらわされます。
 この式7と8は、(x,y)を(s,u)で表す座標軸の回転変換の公式をあらわします。
 なお、ベクトルaに垂直なベクトルbは以下の式9で作りました。
この様にして座標軸の回転変換の公式の7と8が得られましたが、この公式は、考えにくいものでした。
(1)以上では、座標軸を回転させてその新しい座標軸における点の座標値を(s,u)としました。
(2)ベクトル(x,y)を、上記の座標軸の回転方向と逆方向に回転させて、その新しいベクトルの座標値を(s,u)とすると考えることで、上記の(s,u)と同じ(s,u)が求められます。
この(2)の方法の方が考えやすいかもしれません。
この(2)の方法の、ベクトルの回転方法は、この行をクリックした先に書きました。

(sとtをxとyであらわす)
 式1のsとuは以下の計算で求めます。
 (10):ベクトルaと式1の両辺の内積をとると、以下の式10が得られます。
(11):ベクトルbと式1の両辺の内積をとると、以下の式11が得られます。
このsとuの計算結果は以下のように整理できます。
すなわち、座標値sとuで表したベクトルzが、su座標系でベクトルcであらわされたX座標軸のX座標値と、それに垂直なベクトルであらわされたY座標軸のY座標値であらわすベクトル方程式14が得られました。
詳しくは、以下の式17と式18であらわされます。
式7と8と、式17と18のセットで、座標軸の回転変換の公式が得られました。

リンク:
ベクトルの回転変換と三角関数の加法定理
座標の回転変換の公式を初めて学ぶ学び方
高校数学の目次


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