勉強しよう数学: ベクトルの回転移動と三角関数の加法定理

　ベクトル計算は本質的に、余弦定理に関連する計算に向いています。正弦定理や円周角の定理で解ける問題は、ベクトル計算を使わないで、正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解く方がスムーズに解けます。回転変換についても、円周角の定理を使うのと同様に、正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解く方が良いです。

　正弦定理や円周角の定理で解ける問題がベクトルで解きにくいというベクトル計算の弱点（不自由さ）は、ベクトル計算で問題を解かずに、ＸＹ座標軸を使って解き、その座標成分同士の関係を計算する自由な計算により改善できます。

【問】
　以下の図のように、
ベクトル（Ｘ，Ｙ）を、左回りに角度θ回転させたベクトル（Ｘ’，Ｙ’）の各座標をＸとＹであらわす座標の回転移動の公式を導け。

（解答）
　上図を見て導いた上式で、ベクトル（Ｘ，Ｙ）を、左回りに角度θ回転させたベクト（Ｘ’，Ｙ’）の座標をあらわすベクトルの回転移動の公式が得られた。
（解答おわり）

ここで、
左回りに回転させたベクトル（ｘ’，ｙ’）を元のベクトルの成分（ｘ，ｙ）であらわす式と、
元のベクトル（ｘ，ｙ）を、左回りに回転させたベクトルの成分（ｘ’，ｙ’）であらわす式と、
は、
以下の式の様に、θの正負を逆にしただけの式であらわされる、
回転変換式の間の対の関係がありますので、覚えておきましょう。

　この回転変換の公式は常識として、素早く導き出せるようにしましょう。
　以下の図の様に、
Ｘはベクトル(X',Y')の単位ベクトルａへの正射影の長さであり、
Ｙはベクトル(X',Y')の単位ベクトルａvへの正射影の長さである。

　この回転変換の公式の思い出し方は、図を目の視線でたどって、以下の様に場合分けした式の部分を素早く導き出して思い出せるようになりましょう。

すなわち、
上の図を思い描いて、図から、

Ｘ座標のみがある場合のＹ’座標が（ｓｉｎθ）・Ｘであること。
Ｙ座標のみがある場合のＸ’座標が（－ｓｉｎθ）・Ｙであること。

を想像します。
すなわち、以下のような式を想像します。