未知ベクトルとそれに垂直なベクトルを使うベクトル方程式

【問１】

上の三角形において、点Ｂ，Ｃの位置ベクトルを、Ｂ （１，０）と、Ｃ（０，√３）とする。

 ベクトルＯＺに関して図の角度の条件が成り立つ場合、すなわち、
∠ＯＺＣ＝∠ＯＺＢ＝１２０°
となる場合の、

位置ベクトルＺを求めよ。

（解答の方針）
　この問題は、余弦定理等を使って解くことは困難ですが、複素数平面を使うと解けます。
複素数平面を使う解き方は、ここをクリックした先のページにあります。

　以下では、複素数平面を使う解き方の有効性をベクトル方程式にも持たせた形のベクトル方程式の作り方を参考に示します。
この問題を解くために作るベクトル方程式は、未知ベクトルＺとそれに垂直なベクトルＺ_Ｖを使ったベクトル方程式を作ります。
　ただし、この解き方は、複素数平面を使う解き方に比べかなり複雑な解き方ですので、この解き方よりは複素数平面を使って解く解き方（未知数の１次式～２次式）の方がエレガントな解き方だと考えます。

【ベクトルの回転変換の公式を使った解答（参考用）】

この図で、ベクトルＺを左回りに９０度回転したベクトルＺ_Ｖを使います。
この問題を解くために、
ベクトルの回転変換の公式を使って、未知数ｓとｔを使った以下の方程式１１と式１２を作ります。

式１１と１２を式１５と式１６に変形した。
以下のように式１５と式１６から、ベクトルＺ_Ｖを消去した式を作りベクトルＺを求める。

この式は、未知数ｓとｔとｘ及びｙの３次の式である。
この式からベクトルＺを表わす式１７を作る。

この式１７でベクトルＺが得られたので、そのベクトルＺに垂直なベクトルＺ_Ｖが以下の式１８で得られる。

 この式１７と式１８をベクトル方程式１６に代入して、未知数ｓとｔだけを含む未知数の最大次数が２次のベクトル方程式１９を作る。
それにより、未知数ｓとｔを求めることができる。

式２０と２１を更に変形する。

ｔ＝０の場合は不適。
ｔ≠０の場合を計算する。

以上で得たｓとｔを式１７に代入して位置ベクトルＺの座標を計算する。

（解答おわり）

（補足１）
　この解き方は、未知数を、ベクトルＺの変数ｘ，ｙと、未知数ｓとｔとの４つの未知数を含む３次の方程式を解く解き方です。その３次の方程式を、変数ｘ，ｙと未知数ｓ、ｔを切り離して解を求めることで、問題を実質的には２次の方程式と同等な式として扱い、問題を解き易くしました。

（補足２）ベクトルを９０度回転したベクトルの法則
ベクトルａを反時計回りに９０度回転した単位ベクトルａ_ｖ＝ｆを、
更に反時計回りに９０度回転した単位ベクトルｆ_ｖは－ａになる。
そのため、ベクトルの内積ａ_ｖ・ｂを、
両ベクトルを一緒に反時計回りに９０度回転して内積した値は同じ値になるが、
その関係は、以下の式であらわされる。
ａ_ｖ・ｂ＝－ａ・ｂ_ｖ

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