2018年6月22日金曜日

ベクトル計算での挫折を回避する方法

 ベクトル計算は本質的に、余弦定理に関連する計算に向いています。正弦定理や円周角の定理で解ける問題は、ベクトル計算を使わないで、正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解く方がスムーズに解けます。正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解くべき問題をベクトル計算だけで解こうとすると挫折します。

 しかし、以下の様な、円周角の定理の公式1を使うことで、挫折を回避して問題を解くことができます。

 上図で、三角形ABCの外接円の半径をRとすると、円周角の定理が次の式1であらわされる。
cosA=m/R (1)

この式1は、円周角の定理から素直に導き出した式であり、ベクトル計算で導こうとするととても苦労する式です。
この式1を円周角の定理を表現した式として覚えて使うことで、通常は挫折するベクトル計算の挫折を回避することができます。

【問題1】
 以下の図の三角形において、
|BA|・|CA|=2R・h (式3)
 が成り立つことを証明せよ。
【解答】
 上の式を使った以下の計算で、ベクトルBAとベクトルCAの内積を変形します。
・・(式2)
以上で、ベクトルの内積の式を変形した結果、外接円の中心の高さmをベクトルの内積で計算する定理(式2)が得られました。

一方、ベクトルの内積から以下の式が得られます。
式2にこの式を代入し、更に、円周角の定理の式1を代入する。
これで式3が得られました。
(証明おわり)

 しかし、この式3は、正弦定理を使うことで速やかに導かれますが、式1を使わない通常のベクトル計算では、容易には解けずに挫折する問題です。

 この問題が式1を使うことで解けたのは、式1は正弦定理の同類の円周角の定理を表現した式であり、式1を使うことで円周角の定理を使って問題を解いたからです。

 このように、正弦定理や円周角の定理を使わないと挫折する問題は、式1のように円周角の定理をベクトル計算の中に組み込んで使うことで、挫折を回避して解くことができるようになります。

リンク: 
高校数学の目次

0 件のコメント:

コメントを投稿