円の面積を積分で求める

「微分・積分」の勉強

（１）積分：
　以下の問題を考えます。
【問題】 
　半径 １ の円の全周を２πと定義する。
（半径１の円の面積Ｓ＝πになる）
この面積Sを求めよ。

【解１】
　この円の面積Sは、円を以下のような微小な扇型に分解する。微小な扇型は三角形に近似できる。（半径１の円周が２πであることを使うと）微小の扇型の総和で円の面積Sを求めることができる。

（解１おわり）

【解２】
　この問題は、以下の様に計算すれば、円周が２πになることを用いずに解くことができます。

　円を、以下の図の様な短冊に分割し、その１つの短冊の面積Δｓを計算します。 
短冊の幅をΔｘとします。

円を分割する間隔のΔｘあたりの短冊で、その中心の位置のX座標がｘの短冊の面積Δｓが以下の式１で求められます。

この短冊の面積の総和が円の面積です。

 この円の面積を求めるための、円の短冊への分割数を１０から８０まで変えて短冊の面積の総和をエクセル計算表を使って計算した結果、以下の表１の値が得られました。

【表１　円の面積の近似】

円の短冊への分割数を８０まで増やしたら、円の面積が近似的に３．１４になりました。
（解２おわり）

　この様に、要素に分割して総和を計算することが「積分」をするということです。
　積分という概念は、人間の思考視野を広げる思考パターンとして受け止められて初めて、身に付いた数学思想となります。その積分の概念を、身に付き易いよう、わかりやすく書いてある本：
『「超」入門　微分積分』（神永　正博）
を読むことをお勧めします。読めば、積分が面白くなると思います。

　なお、この積分を、（円の全周が２πであることを前提にした）積分の計算技術（後に学ぶ）を駆使して行うと、以下のように計算できます。（置換積分法という計算技術を使います）


円の面積はこの値の４倍になります。そのため、半径１の円の面積は π になります。

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