勉強しよう数学: 技巧的な積分の公式

【問１】以下の式が成り立つ事を証明せよ。

【解説】
「右辺を微分したら左辺の被積分関数になるから、証明終わり。」
という証明でも良いです。

　しかし、この積分の公式には、以下のような味わい深い意味がありますので、
その意味を味わいながら、左辺から、じっくりと、右辺を導き出しましょう。

先ず、以下の関数と、その逆関数の組がある事を覚えてください。

これらの関数のグラフを描くと以下の図になります。

これらの関数の組で、逆関数が上の式になる事は、各自で計算して確認しておいて下さい。

【第１の積分の解１】

投稿

（証明おわり）

【第１の積分の解２】
「変数変換して無理関数の根号を外す公式」を使い：

（証明おわり）

【第１の積分の解３】
以下の様にして証明することもできます。

（証明おわり）

【第２の積分の解１】
ｘ＞１，

（証明おわり）

【第２の積分の解２】
「変数変換して無理関数の根号を外す公式」を使い（ｘが正の場合も負の場合の解もまとめて以下の計算で求めます）：

（証明おわり）

（補足）この導き方では、|u|<|x|なので、ｘ＜０ならばｔ＜０になり、また、ｘ＞０ならばｔ＞０である事も容易にわかる。また、ｔ＜０であっても、ｕの式が、ｕ≧０であるために、０＞ｔ≧−１である。

【第２の積分の解３】
第２の積分は、
「不定積分の不思議な解き方」
の解の形を覚えておいて、その解をｔと置いた置換積分で解を求めても良い。
ｘ＞１の積分区間では：

が得られ、
ｘ＜－１の積分区間では：

が得られる。
（第２の積分の解３おわり）
この解３は覚えやすい形をしているので覚えておいた方が良いと思う。
（解２からこの解３を発想するのは、意識していなければとても難しい事だと思う）

【第２の積分の解４】
第２の積分を、x≧1とx≦-1との場合を合わせて、以下の変数に置き換える置換積分で解いてみます。

（場合１）　先ず、ｘ＞１の場合を解きます。

この関数のx→1での極限値をx=1での値とする：

この関数のx→1の極限値をx=1での値とする。その結果、x≧1での、以下の積分結果が得られた。

（場合２）　次に、ｘ＜－１の場合を解きます。

この関数のx→－1の極限値をx=－1での値とする。その結果、x≦－1での、以下の積分結果が得られた。

　この関数の式は、ｘ≧１の場合の積分結果と同じ形をしている。しかし、この関数の定義域はｘ≦－１であるので、定義域がｘ≧１であった先の関数とは異なる関数である。
（第２の積分の解４おわり）
　この解４の変数変換による方法は、式が複雑になって計算ミスが多くなる難点がある。

【問２】以下の関数の逆関数を求めよ。