微分積分学の基本定理からまぼろしの基本定理まで

（微分積分学の基本定理の正しい定義の開始）

　関数ｙ＝ｆ（ｘ）が、
ａ≦ｘ≦ｂ
上で連続とする。

その条件が成り立つならば、必ず、 

という計算をすることができる。
そして、次のことが成り立つ。
（１）不定積分Ｓ（ｘ）はｆ（ｘ）の原始関数の１つである。
（原始関数は連結区間で１つながりに連続な関数であって全ての点で微分可能な関数）
（２）Ｆ（ｘ）をｆ（ｘ）の任意の原始関数とすると、

 が成立する。
（定理の定義おわり）
 　すなわち、基本定理の意味は、その定理の命題が、Ｓ（ｘ）の式の積分計算を可能にする十分条件（関数が連続である）を述べたものであることがわかります。
　この基本定理の命題が正しいか否かは、連続関数（その領域内で関数が連続）が、「関数の積分を可能にする十分条件」になるか否かによって決まる、そして、関数はその関数が連続な領域で積分可能なので、微分積分学の基本定理が成り立つ、ということがわかります。

（まぼろしの基本定理の予感）
　微分積分学の基本定理をこの形で表現すると、微分積分学の基本定理の抱える問題点が良く分かると思います。
連続関数（その領域内で関数が連続）については、積分して微分すると元の関数が得られるという便利な特徴がありますが、他の関数にも、そういう特徴を持つ関数が無いか、調べてみましょう。
　下図の関数Ｆ（ｘ）とＦ’（ｘ）＝ｆ（ｘ）を考えてみます。

関数Ｆ（ｘ）はｘ＝０で連続な関数です。
この関数Ｆ（ｘ）を微分すると、下図の関数ｆ（ｘ）が得られます。

この関数ｆ（ｘ）はｘ＝０では連続ではありません。
しかし、この関数ｆ（ｘ）を積分すると、Ｆ（ｘ）を得ることができます。
この関数ｆ（ｘ）はｘ＝０で連続で無いので、ｘ＝０を含むｘの範囲で微分積分学の基本定理が適用できません。
しかし、
ｘ＝０を含む範囲で、微分積分学の基本定理の結論である：

 が成立します。
このことから、
以下のまぼろしの基本定理がありそうです。
【まぼろしの基本定理】
関数ｙ＝Ｆ（ｘ）が、
ａ≦ｘ≦ｂ
上で連続とする。

関数Ｆ（ｘ）が、
ａ＜ｘ＜ｂ
で微分可能で、その範囲内で、
Ｆ’（ｘ）＝ｆ（ｘ）になるとする。

　ここで、関数ｆ（ｘ）の値が存在しない境界点のｘ＝ａ又はｂがある場合：
関数ｆ（ｘ）の値が存在するｘの値の範囲がａ＜ｘ＜ｂならば、そのｘの値の範囲の境界点の極限値のａとｂが考えられる。
その関数ｆ（ｘ）の値が存在するｘの値の範囲ａ＜ｘ＜ｂの範囲内で関数ｆ（ｘ）を積分した結果のＦ（ｘ）の値の、
ｘ→ａ　の極限を、Ｆ（ａ）とし、
ｘ→ｂ　の極限を、Ｆ（ｂ）とし、
ａ＜ｘ＜ｂでの積分範囲の極限の、ａ≦ｘ≦ｂ
での積分を、
Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ)
と定義する。そう定義すると：

 が成立する。
（まぼろしの基本定理の定義のおわり）

このまぼろしの基本定理は、数学者の藤原松三郎の「微分積分学　第１巻」に、以下の通りに書いてありました。

不連続関数ｆ（ｘ）の積分を広義積分と呼び、
その積分において、関数ｆ（ｘ）の積分範囲
ａ≦ｘ≦ｂ
内で連続な不定積分（その積分範囲内に微分不可能な点があっても良い）F(x)が得られたら、
（１）それは、不連続関数ｆ（ｘ）が積分可能である証拠であり、
（２）以下の計算で定積分を計算して良い事が書いてあります。
Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）
よって、
不連続な関数ｆ（ｘ）に対して、
その積分区間で連続な不定積分Ｆ（ｘ）が見つかったなら、
その不定積分Ｆ（ｘ）を使って定積分を計算して良いです。
（しかもそのF(x)はその積分区間内で微分不可能な点があっても良い）  

また、小寺平治・著「はじめての微分積分15講」（2,200円）の１０３ページにも、このことが書いてあります。

「やさしく学べる微分積分」（石村園子）の１０６ページの形の微分積分学の基本定理を使うと、以下の定理がすぐに導き出せる。
【定理】
ａ≦ｘ≦ｂ
の範囲で連続な関数ｆ（ｘ）がある場合、

ａ＜ｘ＜ｂ
の範囲で、
Ｆ’（ｘ）≡ｆ（ｘ）＞０
ならば、
ａ≦ｘ≦ｂの範囲で、
ｆ（ｘ）の原始関数Ｆ（ｘ）は単調増加である。
（定理の定義おわり）

（証明開始）
関数ｆ（ｘ）が
ａ≦ｘ≦ｂ
で連続であるので、
ａ≦ｘ_１＜ｘ_２≦ｂ
なるｘ_１とｘ_２に関して、
微分積分学の基本定理により、

よって、
Ｆ（ｘ）は単調増加である。
（証明おわり）

　高校で扱う連続関数（その領域内で関数が連続）はこの定理の条件を満足するので、この定理があれば十分と思いますが、

藤原松三郎の「微分積分学　第１巻」に書いてあったまぼろしの基本定理：
被積分関数ｆ（ｘ）が連続関数（その領域内で関数が連続）で無くても、
その様に不連続な関数ｆ（ｘ）に対して、
その積分区間で連続な不定積分Ｆ（ｘ）が見つかったなら、
その不定積分Ｆ（ｘ）を使って以下の計算で定積分を計算して良い。 
Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）
が使えます。

　実際、以下の定理があります。
【定理】
ａ≦ｘ≦ｂ
の範囲で連続な関数Ｆ（ｘ）がある場合、

ａ＜ｘ＜ｂ
の範囲で、
Ｆ’（ｘ）≡ｆ（ｘ）＞０
ならば、
ａ≦ｘ≦ｂの範囲で、
関数Ｆ（ｘ）は単調増加である。
（定理の定義おわり）

　この定理の証明に、「まぼろしの定理」を使えますが、先ずは、それを使わずに、伝統的に確立されている平均値の定理を使って、この定理を証明しておきます。
（証明開始）
ａ≦ｘ≦ｂ
の範囲で連続な関数Ｆ（ｘ）が：
ａ＜ｘ＜ｂ
の範囲で微分可能で、
Ｆ’（ｘ）＝ｆ（ｘ）
の場合、
平均値の定理によって、
ａ≦ｘ１＜ｘ２≦ｂ
なるｘ１とｘ２に関して、
（Ｆ（ｘ２）－Ｆ（ｘ１））／（ｘ２－ｘ１）＝ｆ（ｘ）
となるｘが、
ａ≦ｘ１＜ｘ＜ｘ２≦ｂ
に、少なくとも１つ存在する。
その範囲で、
ｆ（ｘ）＞０
なので、
Ｆ（ｘ２）＞Ｆ（ｘ１）
である。
よって、Ｆ（ｘ）は単調増加である。
（証明おわり） 
 　このように証明できるこの定理は、まぼろしの基本定理を支える基礎の１つになっていると考えても良いと思います。

（備考２）
　なお、全ての種類の関数における、積分前の関数ｆ（ｘ）と、微分前の関数Ｆ（ｘ）との、変数ｘの一部の定義域での微分積分のあり得る関係が以下の図であらわせます。

（なお、Ｆ（ｘ）として考えられる関数の、関数が連続な領域内の至るところ微分不可能な関数であるワイエルシュトラス関数等は、不連続点を持たないが、微分不可能です。）
（上図で、関数ｆ_２（ｘ）は、除去可能な不連続点を除去した関数です。関数Ｆ（ｘ）は、関数Ｆ（ｘ）の不連続点を除いた変数ｘの範囲でｆ（ｘ）の不定積分であるとともに、ｆ_２（ｘ）の不定積分でもあります）

　上図の、ｆ（ｘ_３）とＦ（ｘ_３）の関数のセットの例：
以下で定義する関数のセットでは、ｆ（ｘ）にｘ＝ｘ_３で除去不可能な不連続点があって、ｆ（ｘ）は不連続関数（その点で関数が不連続な関数であって、その点以外の領域では関数が連続な連続関数である）です。
　しかし、この不連続点を持つ関数ｆ（ｘ）を、その不連続点を含む範囲で定積分することで定義した関数Ｆ（ｘ）が、その不連続点の位置ｘ_３でも変数ｘで微分可能で、Ｆ（ｘ）を微分すると再び不連続点を持つｆ（ｘ）が得られます。
（Ｆ（ｘ）の定義）
ｘ≠０の場合：

ｘ＝０の場合：　Ｆ（０）＝０，

（導関数ｆ（ｘ））
この関数Ｆ（ｘ）はｘ≠０の場合も、ｘ＝０の場合も、微分可能で、
その導関数ｆ（ｘ）は、以下の式であらわせます。
ｘ≠０の場合の微分：

になり、ｘが０に近づくとー１と１の間を振動します。
この導関数が含むｃｏｓ（１／ｘ）の関数が以下のグラフであらわす形の関数になるからです。

Ｘ＝０の場合にも、Ｆ（ｘ）は微分可能で：

というように、０になります。
そのため、この導関数ｆ（ｘ）は、ｘ＝０で連続ではありませんが、Ｆ（ｘ）を微分することで得られます。
この導関数ｆ（ｘ）は積分可能であり、積分するとＦ（ｘ）になります。 

　この関数Ｆ（ｘ)はｘ＝０で連続な連続関数（その点で関数が連続）です。


　Ｆ’（ｘ）＝ｆ（ｘ）はｘ＝０で微分可能では無く不連続なので、ｘ＝０を含むｘの範囲では微分積分学の基本定理が適用できませんが、「まぼろしの定理」が適用できるように思います。

　この様な複雑な関係の中から、比較的に扱い易い連続関数（その領域内で関数が連続）を使って従来の微分積分学の基本定理が定められています。

　また、大学以上の微分積分学では、積分の定義をどんどん拡張して、何でも積分できるようにして、ある関数ｆ（ｘ）を積分して不連続点を持つ関数Ｆ（ｘ)を得ることができるようにし、その不連続点を持つ関数Ｆ（ｘ)を微分して関数ｆ（ｘ）を得ることができるように、微分の定義も拡張するというような事も行なわれます。
　そのように微分・積分の定義を拡張する入口に、微分積分の基本定理が置かれています。
　そのため、微分積分学の基本定理の：

という式の意味することは：
この公式の前提条件以外の条件によってこの式と異なる結果が得られるわけでは無く、
この式を成り立たせるように、ｆ（ｘ）とＦ（ｘ）を対応させる規則である微分と積分とを矛盾が生じ無い様に定義を修正して、この式を成り立たせているのです。
　そういうわけなので、
ａ≦ｘ≦ｂの範囲で、
Ｆ（ｘ）が連続な関数とし、


そのＦ（ｘ）が、
ａ＜ｘ＜ｂの範囲で微分可能で、
ｆ（ｘ）＝Ｆ’（ｘ）
が有限な値で存在する場合は、
ｆ（ｘ）の積分の範囲の取り方を、
ｆ（ｘ）が、ｘ＝ａやｘ＝ｂで存在しない場合にも、
ｆ（ｘ）をａからｂの範囲で積分可能にするように積分の定義を微妙に修正するだけで、

という式を計算可能にする「まぼろしの定理」を作りあげることができます。
そういう、積分の定義の修正を加えるだけで、「まぼろしの定理」が適用可能になります。
　「やさしく学べる微分積分」（石村園子）の１０７ページの説明にある、１０６ページの形の微分積分学の基本定理への感想：「この定理は、ｆ（ｘ）の原始関数を定積分を使って定めてあるところがすばらしい」と書いてあるとおり、
素晴らしい表現だと思います。

という形の定積分を使ってｆ（ｘ）原始関数Ｆ（ｘ）を定めている本質的な表現をしているので、微分積分学の基本定理の前提である：
連結区間ａ≦ｘ≦ｂ
で関数ｆ（ｘ）が連続であれば：

という条件は、定積分を可能にしている条件に過ぎないことが顕わに見えています。

【まぼろしの基本定理の厳密な定義】
　定積分の定義が修正されて、従来の積分の定義では不定積分Ｆ（ｘ)が定義できなかった関数ｆ（ｘ）を、同じ形の定積分で不定積分Ｆ（ｘ)を定義できるように積分の定義を修正すれば、微分積分学の基本定理が適用できる関数ｆ（ｘ）の種類を拡大して「まぼろしの基本定理」を構成できることが分かります。
（１）そして、そのように積分の定義を修正し、Ｆ（ｘ）が連続関数（その領域内で関数が連続）であるという条件だけを定め、

ｆ（ｘ）が連続関数（その領域内で関数が連続）で無くても（積分範囲内にｆ（ｘ）の関数値が存在しない不連続点があっても）積分を適用できるようにする。
（２）更に、 微分する点を含む領域内で連続な関数Ｆ（Ｘ）の微分により得ることができる関数ｆ（ｘ）を、以下の処理で定義することができます。
（２－１）すなわち、ある関数ｆ（ｘ）の不連続点ｘ＝ｘ0で関数が極限値を持つ場合、その不連続点での関数ｆ（ｘ0）の値をその極限値に修正して不連続点を解消する。
（２－２）その他の不連続点については、その不連続点ｘ＝ｘ0 を含む領域で関数ｆ（ｘ）を積分して関数Ｆ（ｘ）を得て、関数Ｆ（ｘ)を微分した場合の不連続点ｘ＝ｘ0で導関数の値が元のｆ（ｘ0）と異なる場合（例えばＦ（ｘ）がｘ0で微分不可能で関数値が無い場合）には、関数ｆ（ｘ）の関数値ｆ（ｘ0）を、その導関数の値に修正する。
（２－３）以上の処理で定義した関数ｆ（ｘ）を、「まぼろしの基本定理」を適用する対象の関数ｆ（ｘ）とします。すなわち、定理の対象にする関数ｆ（ｘ）を、連続関数Ｆ（ｘ)を微分することで得られる関数に限定します。
　また、定理の対象にする連続関数Ｆ（ｘ）も、それを微分した関数を積分することで再び得られる関数に限定します。詳しくは、連続関数Ｆ（ｘ）を、それが微分不可能な点が散在するにしても、大部分のｘの値で微分可能な連続関数Ｆ（ｘ）に限定します。
そのように限定した関数ｆ（ｘ）に対して、その修正した定義による積分の計算をすると：

が成り立ち、また、次のことが成り立つ。
（３）Ｓ（ｘ）はｆ（ｘ）の不定積分である。
Ｓ（ｘ）は連続関数（変数ｘの連結区間内で関数が１つながりに連続）になる。
（４）連続関数Ｆ（ｘ）をｆ（ｘ）の任意の不定積分とすると、

 が成立する。
（まぼろしの基本定理の定義おわり）

　このまぼろしの基本定理が 成り立つ条件を整えるために、ｆ（ｘ）を積分した結果の（ｘの連結区間内で）連続な関数Ｆ（ｘ)を微分した導関数の関数値がｆ（ｘ）の関数値と同じになるという特徴がある関数ｆ（ｘ）を選びました。（そうならない関数もありますが、そういう関数ｆ（ｘ）は除外してあります）

　この「まぼろしの基本定理」を使えば：
【定理】
ａ≦ｘ≦ｂ
の範囲で連続な関数Ｆ（ｘ）がある場合：

ａ＜ｘ＜ｂ
の範囲で、
Ｆ’（ｘ）≡ｆ（ｘ）＞０
ならば、
ａ≦ｘ≦ｂの範囲で、
関数Ｆ（ｘ）は単調増加である。
（定理の定義おわり）
という定理を、微分積分学の基本定理を使った証明の場合と同様な手順に従って、まぼろしの基本定理を使って証明することができます。
　ただし、この様に定義した関数ｆ（ｘ）に対して、このように修正した積分方法で積分することで得られる連続関数Ｆ（ｘ)に限定された証明にはなります。例えば、関数が連続な領域のあらゆるところで微分不可能な関数であるワイエルシュトラス関数等は連続関数Ｆ（ｘ）の候補として使えませんが、、、（例え候補になれても、微分が不可能なので、その関数はこの定理のＦ（ｘ）の条件から外れる）。 
　こうして、この定理が対象にする連続関数（所定領域内で連続な関数）Ｆ（ｘ）が、その様に定義された関数ｆ（ｘ）から積分することで得られる連続関数Ｆ（ｘ）に限定されます。そして、関数が連続な領域の至るところ微分不可能な関数等が定理の対象とする連続関数Ｆ（ｘ）から除外されます。そういうふうに、まぼろしの基本定理が対象にできる連続関数Ｆ（ｘ)が制限されている、定理の限界によって、この証明方法で証明されるのは、そういう連続関数Ｆ（ｘ)に係る場合だけに限定されるので、この証明方法は、全ての連続関数Ｆ（ｘ）について定理を証明したわけでは無く、この証明は不完全です。
　しかし、これにより、この定理の確からしさを確認でき、この証明方法によって定理の持つ意味が分かると考えますので、この証明方法の価値があると考えます。
　また、Ｆ’（ｘ）がａ＜ｘ＜ｂで微分可能であるという条件があるので、その条件が加わった連続関数Ｆ（ｘ）は、まぼろしの基本定理の対象にする連続関数の集合に含まれることを証明できそうだと考えます。それが証明できれば、以上の証明方法は、「完全な証明」になり得ると考えます。

　なお、この定理の対偶も正しく成り立ちますが、その対偶の一部の、正しく成り立つ定理を、以下の様に表現することができます。
【定理の対偶（の一部）】
ａ≦ｘ≦ｂ
の範囲で連続な関数Ｆ（ｘ）であり、
 ａ＜ｘ＜ｂ
の範囲で微分可能な関数Ｆ（ｘ）が、
ａ≦ｘ≦ｂの範囲で、単調増加で無い
（例えばある領域でＦ（ｘ）が同じ値に停留したり、減少したりする）
ならば、
ａ＜ｘ＜ｂ
の範囲内に、
Ｆ’（ｘ）≡ｆ（ｘ）≦０
となる点が必ず存在する。
（定理の定義おわり）

（注意）先の定理（命題）の対偶は、以下の様に、定理の前提条件（関数Ｆ（ｘ）が所定領域内で連続であること等）を否定した場合も想定した命題になります。
【定理の対偶】
ａ≦ｘ≦ｂの範囲で、
関数Ｆ（ｘ）が単調増加で無い
（例えばある領域でＦ（ｘ）が同じ値に停留したり、減少したりする）
ならば、
（場合１）
ａ≦ｘ≦ｂ
の範囲で、関数Ｆ（ｘ)が連続で無いか、
（場合２）
関数Ｆ（ｘ）はその範囲で連続ではあるが、
 ａ＜ｘ＜ｂ
の範囲で微分不可能な点があるか、
（場合３）
関数Ｆ（ｘ）はその範囲で連続で、
かつ、 ａ＜ｘ＜ｂ の範囲で微分可能
ではあるが、  
ａ＜ｘ＜ｂ　の範囲内に、
Ｆ’（ｘ）≡ｆ（ｘ）≦０
となる点が必ず存在する。
かの何れかである。
（定理の定義おわり）

　先の【対偶の一部】は、この【対偶】における場合３を述べた命題でした。
　ここで、条件付きで定義した命題は、
その条件が成立しないときには、その命題の結論が成立しない事もあるという意味を含んだ命題になりますので、
結局、上の場合１と場合２の想定は、条件付きで定義した命題の意味の中に含まれていることになります。
そのため、先の、【定理の対偶（の一部）】の命題は、
結局、定理の対偶によって表現される内容の全部を含んでいます。そのため、定理の対偶の一部では無く、定理の対偶の全体をあらわすものでした。
　定理の成立条件の位置付けをこの様に解釈すると、この「定理の対偶」の定理（命題）の対偶が、以下の様にあらわせます。
【定理】
ａ≦ｘ≦ｂ
の範囲で連続で、
ａ＜ｘ＜ｂ
の範囲で微分可能な関数Ｆ（ｘ）が、　
その範囲での微分係数が全て、
Ｆ’（ｘ）≡ｆ（ｘ）＞０
ならば、
その関数Ｆ（ｘ)は、ａ≦ｘ≦ｂの範囲で、単調増加である。
（定理の定義おわり） 
　この命題は、元の定理ですので、元の定理が「対偶の対偶」によって再現できました。

　なお、
「まぼろしの定理」 を使えば、単調増加関数Ｆ（ｘ）の範囲を拡張した以下の定理もやさしく証明できます。
【定理】
ａ≦ｘ≦ｂ
の範囲で連続な関数Ｆ（ｘ）がある場合：

ａ＜ｘ＜ｂ
の範囲で、
Ｆ’（ｘ）≡ｆ（ｘ）≧０
であり、
そのうち、
ｆ（ｘ）＝０となる点は有限個数存在するだけならば、
ａ≦ｘ≦ｂの範囲で、
関数Ｆ（ｘ）は単調増加である。
（定理の定義おわり）
という定理も簡単に証明できます。
積分範囲内に、Ｆ’（ｘ0）＝０となる点
ｘ＝ｘ0が、
ａ≦ｘ≦ｂ内の、
ｃ＜ｄ
となるｃからｄまでの領域内の全ての点でＦ’（ｘ）＝０であれば、
そのｃからｄまでの積分結果＝０
となります。
しかし、有限の幅を持った領域にわたっては
Ｆ’（ｘ）＝０
とはならず、
所定領域内に、
Ｆ’（ｘ）＝０となる点が有限の個数有るだけならば、
その領域での積分結果＞０
になるからです。

もう１つ、以下の関数Ｆ（ｘ）が単調増加であることも、
「まぼろしの定理」を使ってやさしく証明できます。
（関数Ｆ（ｘ）の定義）
ｘ＝０のとき：　Ｆ（ｘ）＝０，
０＜ｘ≦１において、
Ｆ’（ｘ）＝１＋ｃｏｓ（１／ｘ），
この関数Ｆ（ｘ）は、
０≦ｘ≦１
の範囲内に、 無限個のＦ’（ｘ）＝０となる点がありますが、
０≦ｘ≦１
の範囲内で連続、かつ、単調増加です。

このことは、
「まぼろしの定理」を使ってＦ’（ｘ）を積分してＦ（ｘ）を求める計算式を書けば分かります。

リンク：
高校数学の目次

合成関数の微分の公式の分かり易い証明

（ページ内リンク先）
▽はじめに
▽合成関数の微分の公式の概念
▽合成関数の微分の公式の定義
　   ▽合成関数とは
▽合成関数の微分の公式の本質が見えない形の表現の問題
▽合成関数の微分の公式のごまかしが無い証明
　　▽簡単でわかり易い証明
　　　▽公式の成立条件
▽合成関数の微分の事例
▽微分可能で無いとき起きる不思議な現象
▽合成関数の微分の公式の本質

（はじめに）
（５）微分の知識の整理
の章に入ります。

　高校生が数学の学習から脱落する：
高校２年生から、極限・微分・積分の「意味がわからない」「つまらない」「教わる計算方法が正しいと言える理由（証明）がわからない」で数学の学習から脱落する高校２年生が多いらしい。
　その脱落の原因は、どうやら、合成関数の微分の公式らしい。

　高校３年の教科書の合成関数の微分の公式の証明が間違っているのと、
　高校２年に微分を教える際に合成関数の微分の公式を教えない教育が１９５５年ころから続いているのと、
それと、合成関数の微分の公式の表現そのものが、異なる関数を同じ記号で表す混乱があり、また、関数と関数の値とを区別しないことで、学生が覚えたばかり関数の定義を否定するちゃぶ台返しで関数の定義をひっくり返していること等が、
「微分の意味がわからない」原因になっているのではないかと考えます。

　それらの間違いを正すことで、数学の学習から脱落する者を減らすため、 合成関数の微分の公式を高校教科書よりも正確に証明します。
（大学１年生向けの参考書：例えば：「やさしく学べる微分積分」（石村園子） ￥2000円　の証明は間違いが無く、高校２年生が初めて微分積分を勉強するのにも、適切な参考書だと思います）

（合成関数の微分の公式の概念）
以下の関数のグラフの概形を素早く求める方法を考える。

《このグラフの概形》
（１）
x→±∞のとき、このグラフが、

０に収束することが想像できます。
（２）
ｘ座標の正負反転で対称なグラフであることも想像できます。
（３）
ｘ＝０のとき、
ｙ＝１
になるグラフであることも想像できます。

（４）
ｘ＝０でのグラフの傾きを、以下の様にして想像できます。
ｘ→Δｘのとき、すなわち、ｘが０に近いとき：

の値が１からほとんど変わらないと考えられます。
それにより、
ｘ＝０でのグラフの傾きΔｙ/Δｘは０であると想像できます。
　ここで、そのようにグラフの傾きが想像できるのは、このグラフの式を媒介する

という関数と、ｘの大きさを比べると：ｘが０に近いΔｘになるとき、

は０に収束するからです。
このように、「グラフの式を媒介する関数」という概念が考えられます。
　以上の

のような、微分を媒介する関数を考えて微分の計算ができます。この様な、「微分を媒介する関数」の概念を数学的に整理すると、合成関数の微分の公式に導かれます。

【定義】
　合成関数の微分の公式は、以下の式で表現すると、正確、かつ、分かりやすく定義されます。

合成関数の微分の公式は：
（１）その変数の値ｇに対して、（ｄｆ／ｄｇ）＝ｆ’（ｇ）の有限の値の確定した値の微分係数が存在し（微分可能）、
（２）その変数の値ｘに対して、（ｄｇ／ｄｘ）＝ｇ’（ｘ）の有限の値の確定した値の微分係数が存在する（微分可能）、
という前提条件が成り立っている場合に成り立つ公式です。
そして、その前提条件が成り立つ場合に、合成関数f(g(x))が微分可能であって、それら関数の間にその公式が成り立つ、という公式です。  

合成関数の微分の公式は、以下の様に微分の計算を楽にするときに使う公式です。

（合成関数とは）
　そもそも、「合成関数」とは何なのか、という問題があります。

「微分積分学入門」（横田 壽）の２１ページ近くに、合成関数の定義が書いてあります。
（注：横田教授が芝浦工業大学を退官したため、この教科書を無料で掲載するWebページが無くなりました。この本は書店で購入できます。）

それ以外に、高校２年生が勉強するのに適切な、書店で購入できる微分積分の参考書は：
「やさしく学べる微分積分」（石村園子） ￥2000円
が内容がわかり易くて良いと思います。

合成関数(composite functions)
　関数どうしのつなぎ方として，
合成法則(composition) とよばれる方法について考えます．
まず， f(x) とg(x)2 つの関数を用意します．
次に任意のx に対して規則g を用いて1 つの実数g(x) を取り出します．
もしこのg(x) が関数f(x) の定義域に入っていれば，
規則f を用いて1 つの実数f(g(x)) を取り出すことができるでしょう．
ところで，この実数f(g(x)) は何なのでしょうか．
もしg(x) の値域がf(x) の定義域に含まれていれば，
g(x) の定義域内の各数x に対して， f(g(x)) を作ることができます．
これはg(x) の定義域内の各数x に対し，ただ1 つの実数f(g(x)) を定める規則と考えられます．
よってこの規則をf とg の合成関数(composite function) といい，
f ◦ g で表わすと(f ◦ g)(x) = f(g(x)) となります．

以下の合成関数の微分の公式：

は、関数ｆ（ｇ）とｇ（ｘ）があり、その関数の合成関数の、
ｙ＝ｆ（ｇ（ｘ））＝ｈ（ｘ）
という関数を作った場合に、
変数ｘのある値ｘにおいて、変数ｇの値が定まり、
それらの各変数の値において、
ｆ’（ｇ）＝（ｄｆ／ｄｇ）と、
ｇ’（ｘ）＝（ｄｇ／ｄｘ）との積が、
ｈ’（ｘ）＝（ｄｈ／ ｄｘ）になる、
という公式です。
（変数の他の値の場合については、その変数値毎に考察する公式です）

どの関数ｆ（ｇ）とｇ（ｘ）を使って合成関数を作っても、公式の成立条件が満足されれば、公式が成り立つ、という公式です。

この公式には一定の縛り（成立条件）があります。それは：
（１）その変数の値ｇに対して、（ｄｆ(g)／ｄｇ）＝ｆ’（ｇ）の有限の値の確定した値の微分係数が存在し（微分可能）、
（２）その変数の値ｘに対して、（ｄｇ(x)／ｄｘ）＝ｇ’（ｘ）の有限の値の確定した値の微分係数が存在する（微分可能）、
であるという前提条件です。

「関数が微分可能（有限の値の確定した値の微分係数が存在する）」
という意味は、
「関数が、その変数のその値に限って、その変数で微分可能であれば良く、その変数のその他の値での関数の微分可能性は関係しない」
という意味です。

（合成関数の微分の公式の本質が見えない形の表現の問題）
（式１）：

　　　　

には、以下の問題があります。
（１）右辺のｄｈの表現には、ｄｈが関数値ｈ＝ｆ（ｇ）と表すことができる関数ｆの関数値の変化量をあらわしているという、公式が対象にする関数ｆが存在するという大前提の情報が式に含まれていないのが問題です。

右辺の（ｄｈ／ｄｇ）は、 ｈ＝ｆ（ｇ）の関数ｆ（ｇ）をｇで微分するという意味です。
（ｄｇ／ｄｘ）は、 ｇ＝ｇ（ｘ）の関数ｇ（ｘ）をｘで微分するという意味です。

（２）また、式１の左辺のｄｈの表現には、ｄｈが、公式が対象にする大前提の合成関数の関数ｈ＝ｆ（ｇ（ｘ））＝ｈ（ｘ）の変化量を表しているという、公式が対象にする合成関数ｈが存在するという大前提をあらわす情報が含まれていないこと。
という問題があります。

　そのように、合成関数の微分の公式が個々の関数に係る公式であるという、関数の情報が式１には含まれていないため以下の問題を生じます。
すなわち、この公式で、ｈｘ座標平面上の２つのグラフの微分係数を表現しようとすると、
その２つのグラフのどちらの微分係数も、
（ｄｈ／ｄｘ）という同じ式であらわすしか無いというおかしな事態が生じてしまいます。
式１では、（ｄｈ／ｄｘ）がその２つのグラフそれぞれのｈ座標（関数の値）の変化量を表すという情報が顕わには分からないという問題があります。

　このように、変数を変換する前の関数と後の関数を同じ記号ｈで表す違反があり、また、対象にする関数の情報も含まれていないので、式が分かりにくく、
「意味不明だ」「疑わしい公式だ」と言われるかもしれませんが、、、
関数の出身元（関数値）を見やすくするために、関数の定義の違反を犯ししてでも同じ記号を使う表現を容赦して欲しいと思います。

（しかし、この表現によって、関数が、変数と関数値の間の関係を表すと教わったばかりの学生に対して、合成関数の微分の公式を教えるこの場で、関数が、あたかも関数値で定義されるような、関数について教わった定義を否定するような事を教えることで、合成関数の微分の公式が分からないのと同時に、ちゃぶ台返しによってひっくり返された、関数の定義もわからなくなる、という弊害があるかもしれません。）

　合成関数の微分の公式は、関数の間の関係を表す公式です。そして、合成関数の微分の公式の微分の式で使う全ての変数ｙやｘやその他の媒介変数ｇ同士は、必ず、その変数を他の変数であらわす不変な関数で結ばれているという大前提があります。
その関数はどの式であっても良いですが、計算の途中で変化することが無い、いつも変わらない関係式であることが微分の計算の大前提です。

合成関数の微分の公式が分かるために、以下のように、
ごまかしが無い正しい証明をすることで、合成関数の微分の公式の例外が出る条件がはっきりし、合成関数の微分の公式の意味が分かるようになります。

（証明開始） 
合成関数の微分の公式を以下の式で表すことにします。


（１）先ず、ｈ＝ｆ(g)をｇの関数と考え、f(g) はｇが変化したときにどのくらい変化するか調べるため、ｆ(g)をｇで微分する。

ｆ(g)がｇで微分可能なら
すなわち、（関数ｆの関数値の微小な変化量をΔf(g)であらわし、関数ｆの変数ｇの微小な変化量をΔｇであらわしたときに：
（Δf(g)／Δｇ）の極限が有限の値になる）なら、
Δf(g)が以下の式に近似できる。
（Δｇが０に近づくと正確に成り立ちます）

（注意）ここで、もし変数g の変化Δg が0の場合は、当然にΔf が０になる。その場合でもこの式が成り立つ。

（２）その場合に、変数ｘの変化にともない変化する合成関数 f(g(x)) の関数値の微小な変化量 Δf(g(x)) に関して、以下の式が成り立つ。

（証明おわり）

（簡単でわかり易い証明）
　「微分積分学入門」（著者：横田 壽）の７５ページ近くに、もっと鮮やかな合成関数の微分の公式の証明を見つけました。それは、以下のようにする証明です。
（注意）この証明において、Δｈ≡Δf(x)という関数を対象にしていて、また、関数のΔg(y)という関数を対象にしていることをしっかり認識して式を計算することが大切です。
（証明開始）下図を参照のこと。
「ｈ ≡ ｆ（ｇ）のｇによる微分が存在し（確定した有限値になる）、
ｇ（ｘ）のｘによる微分が存在する（確定した有限値になる）」場合：

 （証明おわり）

　この証明は式の近似があり厳密でなく気持ちが悪いという人は、以下のように、０に収束する連続関数o(Δ) を導入して厳密な証明をすれば良い。

（証明おわり）

上図を参照しつつ、以下の様に、ΔｘからΔｇ、次にΔｈを見積もることで証明する方法もあります。
（証明開始）

（証明おわり）

（補足１） 
　合成関数の微分の公式は、以下のように式の項を作っている関数のかたまりを微分を仲介する変数にして、その変数で微分して、後で、その関数のかたまりを微分するという計算を可能にします。

（検算）この答えが正しいか否かを、以下のグラフを思い描いて確認してください。

想像したグラフの傾きがマイナスであることと、微分計算結果の式がマイナスになることが一致しているので、この計算結果が正しそうだと確認できました。
（検算おわり）

　合成関数の微分の公式を使うことにより、微分の計算がだいぶ楽になる。合成関数の微分の公式は、微分の計算にとって、生物が必要とする空気のように必要な公式です。

【合成関数の微分の公式の成立条件】
　この合成関数の微分の公式には縛り（成立条件）があります。
それは、
「ｈ ≡ ｆ（ｇ）のｇによる微分が存在し（確定した有限値になる）、
ｇ（ｘ）のｘによる微分が存在する（確定した有限値になる）」
という前提条件です。

---（定義2.1　「微分積分学入門」（横田 壽）６７ページ---
関数f(x) がx0 を含むある区間で定義されているとき，極限値

が（有限な値で）存在するならば，
関数f(x) は， x = x0 で微分可能(differentiable) であるといいます．
また，この極限値A を点x0 における微分係数といい，

で表わします．
-----（定義おわり）---------------------------

この、有限の微分係数が（有限な値で）存在する（微分可能）という前提条件は、いわば、
「式を０で割り算する計算をしてはいけない」
という計算の縛りと同じ様な意味を持っています。

　すなわち、「微分可能」という前提条件は、
「０で割り算しない場合に限る」という前提条件 、
言いかえると、
「計算の違反が無い計算に限る」という前提条件、
を加えて微分の式を書くことです。

　そういう「万能の条件」を正しく組み込んで計算するならば、計算の自由度が高くなります。
　『合成関数を構成する２つの関数が何れも「微分可能＝微分係数が有限の確定値になる」であるように関数の変数の定義域を定める』という前提条件付きで、パラメータ関数 ｇ（ｘ） や ｓ（ｘ） を自由に選ぶことができます。

その様に計算の自由度を高くするから合成関数の微分の公式が成り立つのだと考えます。

【合成関数の微分の事例】
（事例１）
以下の様に、変数ｘでの関数 f(x) の微分を、媒介変数ｔを表す関数g(x)を用いて、関数h(t)と関数t=g(x)とを合成してあらわす場合を考えます。

この関数g(x)は、Xが０より小さい定義域の場合と０より大きい定義域の場合とでは、関数を表す数式が異なる事に注意してください。
（この様に関数は、定義域毎に数式を選んで定義します）
関数 f(x)は、この関数g(x)と以下で示す関数h(t)の合成関数です。

関数 h(t)は、以下のグラフで表せます。

 合成関数の微分の公式を利用して、この合成関数h(g(x))を変数Xで微分する場合に、ｘ＝０でｔ＝g(0)＝０の場合には、関数h(t)は微分可能ではありません。
そのため、ｘ＝０でｔ＝０の場合には、合成関数の微分の公式が適用できません。
それゆえ、ｘ＝０でg'(0)=0ですが、そのg'(0)=0がh'(t)に掛け合わされる事は無く、
合成関数の微分の公式で適用可能な条件を満足する場合での微分結果は、いつでも１になります。
（注意）ここで注意すべき点は、x=0で合成関数h(g(x))が微分可能であって、g(x)も微分可能であっても、t=0での関数h(t)が微分可能にはなっていない事です。合成関数の微分の公式は、g(x)が微分可能であって、h(t)が微分可能である、という条件に対して、合成関数f(x)=h(g(x))が微分可能であると言えるという公式なのです。
（事例１おわり） 

【微分可能で無いとき起きる不思議な現象】
 　合成関数の微分の公式の意味が分かりましたでしょうか。
　次に、合成関数の微分の公式に関連することとして、以下の２つの注意の事例にあるように、「２つの接するグラフが接点における等しい微分係数を持つ」ことが、グラフの座標変換によって変わってしまう、２つのグラフの接触点での微分係数が等しく無くなることが有り得ます。

　そのようにおかしな事が起きても、それは、合成関数の微分の公式が間違っているわけでは無く、それは微分の本質的な問題であると正しく認識して下さい。
　合成関数の微分の公式が成り立つ範囲では、その様なおかしな事は起きません。そのため、合成関数の微分の公式の適用範囲が、すなわち、おかしな事が起きない、計算の秩序が守られる範囲を定めているとも言えます。

　その現象が起きたとき、合成関数の微分の公式の前提条件である「微分可能」が成り立っていないので、合成関数の微分の公式の適用範囲の外で、そういう不思議な事がおこります。

（注意１）
以下の２つのグラフが、ｘ＝０で微分係数が等しいです。

この場合、合成関数の微分の公式によって、これらの関数を他の変数ｔで微分した微分係数も等しくなるでしょうか。

以下で、この合成関数を詳しくしらべてみます。
ｘのｔによる関数を以下の式で定義してみます。

グラフの関数を変数ｔであらわす各関数を計算します。

この様に、変なグラフが出てきました。
このグラフが出て来る意味を詳しく理解するために、合成関数の微分の公式を適用して各関数の微分係数を計算してみます。

ｘ＝０の場合に、（ｄｘ／ｄｔ）の値が有限で無いので、
ｘがｔで微分可能ではありません。
そのため、合成関数の微分の公式の適用外になります。
ｘ＝０の場合に、合成関数の微分の公式は０に無限大を掛け算する計算になっています。

ｘ＝０で、両関数の微分係数が同じであっても、
その場合に合成関数の微分の公式が適用できないので、
ｘ＝０で、両関数の微分係数（ｄｙ／ｄｔ）は、
合成関数の微分の公式は両関数の微分係数が等しくなることを保証しているわけではありません。
（合成関数の微分の公式から受ける印象が私たちを裏切っています） 

一方、ｘ＝０で、これらの合成関数は、上図のグラフのようにしっかり定義されていて、ｘ＝０においても微分係数が定義できています。
そして、ｘ＝０で、両関数の微分係数（ｄｙ／ｄｔ）が異なっています。

　なお、ある変数の値において公式が適用できない関数を含む場合の合成関数の微分の公式は、
公式の適用条件の「各関数の微分可能性」が守られている変数の値の範囲内ならば、その値がどの値の場合においても成り立っています。
例えば、変数ｘが以下の図の関数で変数ｔに変換される場合：

この図の関数は、ｘ＝１に対応するｔ＝０では微分不能ですが、ｘ＝０に対応するｔ＝－１では微分可能ですので、ｔ＝－１では、合成関数の微分の公式が成り立っています。
この関数によって、先のＸＹ平面上でｘ＝０の点で接する２つのグラフは、ｔＹ平面上に写像したグラフにおいても、グラフが共通の点を持つｔ＝－１の位置において、２つのグラフは同じ微分係数（ｄｙ／ｄｔ）を持ち、その点で接しています。

（注意２）
以下の曲線と直線が、ｘ＝１の点で接しています。

その接点で曲線と直線の微分係数が等しいです。
このグラフの座標系を以下の様に変換していきます。

上図には、２つのグラフそれぞれに対して、ｄｚ／ｄｘの式を記載しました。
ｄｚ／ｄｘは、各グラフ毎の、ｚを与える関数（ｚ＝ｆ（ｘ）やｚ＝ｐ（ｘ））を変数ｘで微分することを表しています。
そのため、グラフ毎に異なる２つの式の、ｄｚ／ｄｘ＝ｆ’（ｘ）と、ｄｚ／ｄｘ＝ｐ’（ｘ）の式があります。


ここで、以下のグラフの関数で、変数ｘを変数ｔに変換します。

こうして、当初の曲線と直線が、上図の折れ線と直線に変換されました。
この折れ線の折れ点では微分が不可能です。
合成関数の微分の計算では、その点でｄｓ／ｄｔが有限な値では無いので、その点では合成関数の微分の公式が適用できません。
そして、折れ線では、折れ点で微分係数が存在しません。
（そもそも、折れ線の左右の微分係数がー１と１という異なる微分係数の値を持っていますので、折れ点では微分係数が定まりません）

折れ点で折れ線とｚ＝０の直線（微分係数ｄｚ／ｄｔ＝０）とが接触していますが、折れ点の微分係数がそれと同じであるとは言えません。

　この例では、当初は接触点において微分係数が等しかった２つのグラフが、座標系を変換して形を変えた２つのグラフに変換すると、その接触点で、微分係数が異なるグラフに変わりました。

（合成関数の微分の公式の本質）
　合成関数の微分の公式の本質は、

が成り立つことにあるのでは無く、以下のことが、本質ではないかと考えます。

（１）上の式の関係は通常は成り立っているものと考えるが、
（２）その式が成り立たない場合があることを、合成関数の微分の公式が示している。
その問題を生じる必要条件は、上式の各微分係数要素（導関数要素と呼ぶ）の中に、微分可能で無いものがあること（有限の値に確定した微分係数を持たない）
（問題を生じない十分条件は、全ての導関数要素が微分可能であること）
であることを、合成関数の微分の公式が教えている、
と考えた方が良いと思います。

例えば、変数ｘで表される２つの関数ｙ₁とｙ₂があって、
変数ｘのある値ｘ0における、２つの関数ｙ₁とｙ₂のｘによる微分係数が、

という式であらわされて、等しかったとします。
このとき、他の変数ｔで微分した場合に、

が成り立つと普通は考えますが、それが成り立つための１つの十分条件は、

という合成関数の微分の公式に記載されたその他の導関数要素であるｄｘ／ｄｔが、ｘ＝ｘ0の点において微分可能であることである。

これが、合成関数の微分の公式の本質ではないかと考えます。

なお、種々な証明方法の参考には、
「合成関数の微分の公式の種々の証明」のページを参考にしてください。

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