（注意）
このページは、初めて合成関数の微分の公式を学ぶ者にとって内容が多くなり過ぎました、そのため、この内容を短くしたページを作りました。
初めて合成関数の微分の公式を学ぶ人は、ここをクリックした先のページを先に見てください。
その後で必要があれば、このページに戻ってきてください。
（ページ内リンク先）
▽はじめに
▽合成関数の微分の公式の概念
▽合成関数の微分の公式の定義
▽合成関数とは
▽合成関数の微分の公式の意味
▽合成関数の微分の公式の本質が見えない形の表現の問題
▽合成関数の微分の公式のごまかしが無い証明
▽簡単でわかり易い証明
▽完全な証明
▽間違えやすい証明
▽公式の成立条件
▽媒介変数を利用した証明
▽合成関数の微分の事例
▽（事例２）どんな関数を使っても合成できる
▽微分可能で無いとき起きる不思議な現象
▽合成関数の微分の公式の本質
（はじめに）
（５）微分の知識の整理
の章に入ります。
高校生が数学の学習から脱落する：
高校２年生から、極限・微分・積分の「意味がわからない」「つまらない」「教わる計算方法が正しいと言える理由（証明）がわからない」で数学の学習から脱落する高校２年生が多いらしい。
その脱落の原因は、どうやら、合成関数の微分の公式らしい。
高校３年の教科書の合成関数の微分の公式の証明が間違っているのと、
高校２年に微分を教える際に合成関数の微分の公式を教えない教育が１９５５年ころから続いているのと、
それと、合成関数の微分の公式の表現そのものが、異なる関数を同じ記号で表す混乱があり、また、関数と関数の値とを区別しないことで、学生が覚えたばかり関数の定義を否定するちゃぶ台返しで関数の定義をひっくり返していること等が、
「微分の意味がわからない」原因になっているのではないかと考えます。
それらの間違いを正すことで、数学の学習から脱落する者を減らすため、 合成関数の微分の公式を高校教科書よりも正確に証明します。
（大学１年生向けの参考書：例えば：「やさしく学べる微分積分」（石村園子） ￥2000円 の証明は間違いが無く、高校２年生が初めて微分積分を勉強するのにも、適切な参考書だと思います）
《合成関数の微分の公式の概念》
以下の関数のグラフの概形を素早く求める方法を考える。
《このグラフの概形》
（１）
x→±∞のとき、このグラフが、
０に収束することが想像できます。
（２）
ｘ座標の正負反転で対称なグラフであることも想像できます。
（３）
ｘ＝０のとき、
ｙ＝１
になるグラフであることも想像できます。
（４）
ｘ＝０でのグラフの傾きを、以下の様にして想像できます。
ｘ→Δｘのとき、すなわち、ｘが０に近いとき：
の値が１からほとんど変わらないと考えられます。
それにより、
ｘ＝０でのグラフの傾きΔｙ/Δｘは０であると想像できます。
ここで、そのようにグラフの傾きが想像できるのは、このグラフの式を媒介する
という関数と、ｘの大きさを比べると：ｘが０に近いΔｘになるとき、
は０に収束するからです。
このように、「グラフの式を媒介する関数」という概念が考えられます。
以上の
のような、微分を媒介する関数を考えて微分の計算ができます。この様な、「微分を媒介する関数」の概念を数学的に整理すると、合成関数の微分の公式に導かれます。
【合成関数の微分の公式の定義】
合成関数の微分の公式は、以下の式で表現すると、正確、かつ、分かりやすく定義されます。
合成関数の微分の公式は、以下の様に微分の計算を楽にするときに使う公式です。
合成関数の微分の公式は：
（１）その変数の値ｇに対して、（ｄｆ／ｄｇ）＝ｆ’（ｇ）の有限の値の確定した値の微分係数が存在し（微分可能）、
（２）その変数の値ｘに対して、（ｄｇ／ｄｘ）＝ｇ’（ｘ）の有限の値の確定した値の微分係数が存在する（微分可能）、
という前提条件が成り立っている場合に成り立つ公式です。そして、その前提条件が成り立つ場合に、合成関数f(g(x))が微分可能であって、それら関数の間にその公式が成り立つ、という公式です。
（定義おわり）
（合成関数とは）
そもそも、「合成関数」とは何なのか、という問題があります。
「微分積分学入門」（横田 壽）の２１ページ近くに、合成関数の定義が書いてあります。
（注：横田教授が芝浦工業大学を退官したため、この教科書を無料で掲載するWebページが無くなりました。この本は書店で購入できます。）
それ以外に、高校２年生が勉強するのに適切な、書店で購入できる微分積分の参考書は：
「やさしく学べる微分積分」（石村園子） ￥2000円
が内容がわかり易くて良いと思います。
合成関数(composite functions)
関数どうしのつなぎ方として，
合成法則(composition) とよばれる方法について考えます．
まず， f(x) とg(x)2 つの関数を用意します．
次に任意のx に対して規則g を用いて1 つの実数g(x) を取り出します．
もしこのg(x) が関数f(x) の定義域に入っていれば，
規則f を用いて1 つの実数f(g(x)) を取り出すことができるでしょう．
ところで，この実数f(g(x)) は何なのでしょうか．
もしg(x) の値域がf(x) の定義域に含まれていれば，
g(x) の定義域内の各数x に対して， f(g(x)) を作ることができます．
これはg(x) の定義域内の各数x に対し，ただ1 つの実数f(g(x)) を定める規則と考えられます．
よってこの規則をf とg の合成関数(composite function) といい，
f ◦ g で表わすと(f ◦ g)(x) = f(g(x)) となります．
以下に合成関数の例をあげます。
上の式はｘの関数ｈを合成関数の形で表現しました。
関数ｈは、ｇというパラメータ関数を使って、式１と式２とであらわした、結局は式３の形のｘの関数です。
ｈは、式１の形と式３の形との２つの形の式であらわすことができます。
この関数ｈは、以下の形の合成関数の形であらわすこともできます。
式３の形の関数ｈは、ｓというパラメータ関数を使って、式４と式５であらわすことができます。
ｈは、式３の形や式４の形であらわせました。
式３で表されるｘの関数ｈは、パラメータ関数 ｇ（ｘ） や ｓ（ｘ） を自由に選ぶことで式１や式４の形やその他の形の無限に多くの形であらわすことができます。
（合成関数とはの説明終わり）
（合成関数の微分の公式の意味）
以下の合成関数の微分の公式：
は、関数ｆ（ｇ）とｇ（ｘ）があり、その関数の合成関数の、
ｙ＝ｆ（ｇ（ｘ））＝ｈ（ｘ）
という関数を作った場合に、
変数ｘのある値ｘにおいて、変数ｇの値が定まり、
それらの各変数の値において、
ｆ’（ｇ）＝（ｄｆ／ｄｇ）と、
ｇ’（ｘ）＝（ｄｇ／ｄｘ）との積が、
ｈ’（ｘ）＝（ｄｈ／ ｄｘ）になる、
という公式です。
（変数の他の値の場合については、その変数値毎に考察する公式です）
どの関数ｆ（ｇ）とｇ（ｘ）を使って合成関数を作っても、公式の成立条件が満足されれば、公式が成り立つ、という公式です。（事例２を参照）
この公式には一定の縛り（成立条件）があります。それは：
（１）その変数の値ｇに対して、（ｄｈ／ｄｇ）＝ｆ’（ｇ）の有限の値の確定した値の微分係数が存在し（微分可能）、
（２）その変数の値ｘに対して、（ｄｇ／ｄｘ）＝ｇ’（ｘ）の有限の値の確定した値の微分係数が存在する（微分可能）、
であるという前提条件です。
「関数が微分可能（有限の値の確定した値の微分係数が存在する）」
という意味は、
「関数が、その変数のその値に限って、その変数で微分可能であれば良く、その変数のその他の値での関数の微分可能性は関係しない」
という意味です。
【合成関数の微分の公式の本質が見えない形の表現の問題】
合成関数の微分の公式が以下の式で表現されることがあります。
（式１）：
この表現方法には問題があります。
（１）第１の問題点：
式１のように表現すると、変数ｈとｘとｇの間の関係をあらわす式だと誤解されやすい点が第１の問題です。
この式１で表現されると、合成関数の微分の公式は、変数の間の関係式の様に見えてしまいます。しかし、そうでは無く、関数の微分係数の間の関係式なのです。
右辺の（ｄｈ／ｄｇ）という表現の意味は、ｈをｇであらわす関数ｆ（ｇ）が存在し、
ｈ＝ ｆ（ｇ）と表せる関数関係があるという意味を持ちます。
また、その関数の微分（ｄｆ（ｇ）／ｄｇ）が有限の値の確定した値の微分係数を持たなければなりません。
（ｄｇ／ｄｘ）という表現の意味は、ｇをｘであらわす関数ｇ（ｘ）が存在し、
ｇ＝ｇ（ｘ）と表せる関数関係があるという意味を持ちます。
また、その関数の微分（ｄｇ（ｘ）／ｄｘ）が有限の値の確定した値の微分係数を持たなければなりません。
それらが成り立つことが、合成関数の微分の公式が成り立つ大前提です。
（２）第２の問題点：
式１の左辺の（ｄｈ／ｄｘ）という表現の意味は、ｈをｘであらわす関数ｈ（ｘ）が存在し、
ｈ＝ ｈ（ｘ）＝ｆ（ｇ（ｘ））と表せる関数関係があるという意味を持ちます。
左辺の （ｄｈ／ｄｘ）のｈが関数の名前を表すと解釈すると、右辺の（ｄｈ／ｄｇ）のｈは、左辺の関数ｈ（ｘ）とは異なる名前の関数ｆ（ｇ）を表しています。
同じ名前で異なる関数を表すという矛盾があります。
合成関数の微分の公式は、関数の関係を表していますが、式１の表現は、関数値の微小量の変化の間の関係で関数関係を表していて、関数が存在するという公式の大前提が分かりにくい表現になっています。
（３）関数値の名づけ方がおかしい問題：
式１で関数値を表すと、異なる関数の合成関数の微分が区別されない表現になり、
ｈ＝ｆ（ｇ）と、
ｈ＝ｋ（ｇ）との
２つの異なる関数の合成関数の微分が、
いずれも、
（式１）：
であらわされることになり、異なる関数を同じ記号ｈで表すことになってしまう混乱がある問題があります。
この問題を改善して、ｈが特定の関数をあらわすことを明確にするために、
例えば、変数ｇとｘの間に
という関数の関係がある場合の、
２つの関数のグラフ
と、
との、関数毎の微分の公式を、
というようにあらわした方が分かりやすいと考えます。
しかし、この式でも、
という変数変換がされた前後の関数を同じ記号ｈで表しています。
つまり、
右辺の関数
と定義し、左辺の関数
と定義し、
２つの異なる式、
と表される関数と、
と表わされる関数（合成関数）を同じ記号
で表すという違反を犯しています。
（関数とは変数と関数の値との関係をあらわすものなので、変数が別の新変数に変換されると、その関数の値と新変数との間には新しい関係が生まれ、その新しい関係を表す新しい関数は、元の変数における関数とは異なります。）
これらの問題がある根本的な理由は：
（式１）：
には、右辺のｄｈの表現には、ｄｈが関数値ｈ＝ｆ（ｇ）と表すことができる関数ｆの関数値の変化量をあらわしているという、公式が対象にする関数ｆが存在するという大前提の情報が式に含まれていないこと。
また、式１の左辺のｄｈの表現には、ｄｈが、公式が対象にする大前提の合成関数の関数ｈ＝ｆ（ｇ（ｘ））＝ｈ（ｘ）の変化量を表しているという、公式が対象にする合成関数ｈが存在するという大前提をあらわす情報が含まれていないこと。
にあります。
そのように、合成関数の微分の公式が個々の関数に係る公式であるという、関数の情報が式１には含まれていないため、ｈｘ座標平面上の２つのグラフの微分係数を、この公式で表現しようとすると、
ｈがそれぞれのグラフのｈ座標（関数の値）の変化量を表すという情報が式１には含まれていないので、
その２つのグラフのどちらの微分係数も、
（ｄｈ／ｄｘ）という同じ式であらわすしか無いというおかしな事態が生じてしまうのです。
このように、変数を変換する前の関数と後の関数を同じ記号ｈで表す違反があり、また、対象にする関数の情報も含まれていないので、式が分かりにくく、
「意味不明だ」「疑わしい公式だ」と言われるかもしれませんが、、、
関数の出身元（関数値）を見やすくするために、関数の定義の違反を犯ししてでも同じ記号を使う表現を容赦して欲しいと思います。
（しかし、この表現によって、関数が、変数と関数値の間の関係を表すと教わったばかりの学生に対して、合成関数の微分の公式を教えるこの場で、関数が、あたかも関数値で定義されるような、関数について教わった定義を否定するような事を教えることで、合成関数の微分の公式が分からないのと同時に、ちゃぶ台返しによってひっくり返された、関数の定義もわからなくなる、という弊害があるかもしれません。）
上の式で合成関数の微分の公式を表現すると、関数が変数と関数値の間の関係を表すことがしっかり身についている学生には、「合成関数の微分の公式が関数の間の関係を表しているとは思えない」と言われるかもしれませんが、、、
合成関数の微分の公式は、関数の間の関係を表す公式です。そして、合成関数の微分の公式の微分の式で使う全ての変数ｙやｘやその他の媒介変数ｇ同士は、必ず、その変数を他の変数であらわす不変な関数で結ばれているという大前提があります。
その関数はどの式であっても良いですが、計算の途中で変化することが無い、いつも変わらない関係式であることが微分の計算の大前提です。
【合成関数の微分の公式の証明】
合成関数の微分の公式が分かるために、以下のように、
ごまかしが無い正しい証明をすることで、合成関数の微分の公式の例外が出る条件がはっきりし、合成関数の微分の公式の意味が分かるようになります。
《証明開始》
合成関数の微分の公式を以下の式で表すことにします。
（ｆ（ｇ）＝ｈ（ｘ）という関係を強調するために、以下の説明では、あえて、ｆ(g)とｈ(x)を混同して説明する。）
この式で、左辺のｈは、
ｈ＝ｆ（ｇ（ｘ））＝ｈ（ｘ）という合成関数をあらわしています。
また、右辺の導関数
のｈは、
ｈ＝ｆ（ｇ）という、左辺の関数ｈとは異なる関数をあらわしています。
（１）先ず、ｈ＝ｆ（ｇ）をｇの関数と考え、ｈはｇが変化したときにどのくらい変化するか調べるため、ｈ＝ｆ（ｇ）をｇで微分する。
ｈ＝ｆ（ｇ）がｇで微分可能
（関数ｆの関数値ｈの微小な変化量をΔｈであらわし、関数ｆの変数ｇの微小な変化量をΔｇであらわしたときに：
（Δｈ／Δｇ）の極限が有限の値になる）
なら、
Δｈが以下の式に近似できる。
（Δｇが０に近づくと正確に成り立ちます）
（２）その場合に、変数ｘの変化の結果変化する合成関数ｆ（ｇ（ｘ））の関数値の微小な変化量Δｈに関して、以下の式が成り立つ。
（証明おわり）
《簡単でわかり易い証明》
「微分積分学入門」（著者：横田 壽）の７５ページ近くに、もっと鮮やかな合成関数の微分の公式の証明を見つけました。それは、以下のようにする証明です。
（証明開始）下図を参照のこと。
「ｈ = ｆ（ｇ）のｇによる微分が存在し（確定した有限値になる）、
ｇ（ｘ）のｘによる微分が存在する（確定した有限値になる）」場合：
（証明おわり）
（補足１）
上の図を参照しつつ、以下の様に、ΔｘからΔｇ、次にΔｈを見積もることで証明しても良いです。
《証明開始》
（証明おわり）
（補足２）
上の証明において、
Δｈの値を
という式に近似しているのが気持ちが悪いと言って、
以下の様に、Δｈを全く近似しないで表すために、以下の関数ｂ（ｇ，Δｇ）を使って計算する証明方法もあります。
（ｆ（ｇ）＝ｈ（ｘ）という関係を強調するために、以下の説明では、あえて、ｆ(g)とｈ(x)を混同して説明する。）
《証明開始》
これを使って以下の様に計算できます。
（証明おわり）
（補足３）
全く近似しない厳密な証明をしたいならば、以下の、伝統的な、厳密な証明の方がスッキリした証明だと思いました。しかしながら、以下の証明を、全くごまかし無く記載した「完全な証明」に書き換えると、関数の定義を導入する必要がある等のけっこうゴタゴタした証明になりました。そのため、上の証明の方がスッキリした厳密な証明方法かもしれません。
《伝統的な厳密な証明》
（証明おわり）
《完全な証明》
上の「厳密な証明」では、大前提の関数の役割が顕わでなく、関数値の関係しか記載されていないので、未だ、気持ちの晴れない証明だと思います。
そのため、以下の証明の様に、関数の役割を顕わに示す証明に書き換えました。
（合成関数の微分の公式の厳密な定義）
変数ｘのある値ｘとその近傍の値において、変数ｔが、変数ｘのある関数ｇによって、以下の式１で表される変数間の関係が定まっているものとする。
変数ｔのその値ｔとその近傍の値に対して関数値ｙが定まる、式②ａで表される関数ｆの関係も定まっているものとする。
このとき、式①の関数によって、変数ｔを変数ｘに置き換える変数変換をすると、
その値と近傍の値の変数ｘが、その値の関数値ｙを定める、以下の式２で表される合成関数が表される。
この変数変換により、関数ｆを合成関数に変換すると、
関数値ｙの微小変化は以下の式３であらわされる。
すなわち、変数ｔの微小変化Δｔに対応して定まる関数ｆの微小変化Δｙ＝Δｆ（ｔ）は、
式３であらわすように、変数ｘの、その変数値からの微小変化Δｘに対応して定まる合成関数ｆ（ｇ（ｘ））の微小変化Δｙと同じである。
ここで、変数ｔの微小変化Δｔは、変数ｘの微小変化Δｘに対応して定まっている。その変数ｘとｔの対応関係は関数ｇで結ばれて定まっている。
このとき、以下の式のように、変数ｘのその値において、関数ｇが変数ｘによって微分可能であり、
かつ、
その値の変数ｘに対応する変数ｔの値において、
関数ｆが変数ｔによって微分可能であるならば、
以下の合成関数の微分の公式であらわされる関係がある。
すなわち、関数値ｙを変数ｘで定める合成関数は、その合成関数を変数ｘで微分した微分係数は、
関数ｆを変数ｔで微分した微分係数と、
関数ｇを変数ｘで微分した微分係数の積に等しい関係がある。
これが、合成関数の微分の公式の厳密な定義です。
（証明開始）
次に、これを証明します。
（１）
先に式３で表したように、変数ｘがΔｘの値で微小変化した場合の合成関数ｆ（ｇ（ｘ））の関数値ｙの微小変化量Δｙは、変数ｘに対応して変数ｔが微小量Δｔだけ微小変化した場合の、変数ｔの関数ｆの関数値ｙの微小変化量Δｙと等しい。
（２）
関数ｆの微分係数の定義により、関数ｆの関数値ｙの微小変化量Δｙ＝Δｆ（ｔ）は、以下の計算により、式４で表せる。
この式４が成り立つ場合は、ｄｆ／ｄｔが有限の値を持ち関数ｆが変数ｔで微分可能な場合である。
（注意）
この式④は、誤差関数 ε1 が、Δｔ≠０の場合だけで定義されているので、式④も、Δｔ≠０となる場合だけで有効です。この式④の有効範囲を拡張するため、Δｔ＝０の場合に定義されていなかった誤差関数 ε1 を、Δｔ＝０の場合にε1＝０と定義する。
----------（備考）------------------------------------
Δｔ＝０の場合に ε1 が０になるのは、誤差関数 ε1 がΔｔを変数とする連続関数（Δｔ＝０でも定義されている）なら当たり前の事ですが、誤差関数 ε1 は、導関数（ｄｆ／ｄｔ）と同様に、必ずしも連続関数にはならないのではないかと疑ったので、また、誤差関数が連続関数にならない場合には「合成関数の極限の裏切り」の図３（式３）のように異常なことがおこると困るので、追加することにした定義です。
例えば、以下の様に、ｔ＝０で微分可能な関数ｆ（ｔ）の導関数が、ｔ＝０で不連続な関数になる場合等もあるから油断できないからです。
（連続関数にならない導関数の例）
（注意）この導関数の計算は、合成関数の微分の公式が証明された後で、合成関数の微分の公式を使って計算してください。ここでは、そういう関数があるという事を例示するだけに留めます。
ｔ≠０の場合：
ｔ＝０の場合： ｆ（０）＝０，
この関数はｔ＝０及びその近傍で微分可能で、その導関数は、
ｔ≠０の場合は、
になり、ｔが０に近づくとー１と１の間を振動します。
この導関数が含むｃｏｓ（１／ｔ）の関数が以下のグラフであらわす関数になるからです。
そのため、この導関数はｔ＝０で不連続です。
ｔ＝０の場合には、
というように、０になります。
この導関数は、ｔ＝０でこのように有限の値を持ちますが、ｔ→０の近傍で－１から１の値の間を振動して、ｆ’（０）の値に収束しないので、連続ではありません。
ただし、ｆ（ｔ）がこの関数の場合でも、誤差関数 ε1 は連続関数になりそうに思いますが、、、また、誤差関数 ε1 がｔ＝０で無限大にならない限り、その誤差関数が非連続であっても式④は成り立ちますが、、、
-----------（備考おわり）-----------------------------
この定義の追加によって、式④が、Δｔ＝０の場合にも使えるようになりました。
ここで、式④には矛盾が無いことを以下で説明します。
Δｔ＝０の場合に誤差関数 ε1 は無限大では無いので、 ε1Δｔ＝０です。また、ｄｆ／ｄｔが無限大では無い（微分可能）であるので、（ｄｆ／ｄｔ）Δｔ＝０です。
よって、Δｔ＝０の場合に式④の右辺は０になります。
一方、ｄｆ／ｄｔが無限大では無いので、Δｔ＝０の場合にΔｙ＝０になり、式④の左辺は０になります。
よって、Δｔ＝０の場合に式④は、矛盾無く成り立ちます。
（変数ｔの値ｔでｄｆ／ｄｔが無限大になる様に、微分可能では無い場合には、又は、Δｔ＝０で誤差関数 ε1 の値が無限大になる様な場合では、Δｔ＝０の場合にΔｙ≠０となるような事が起こり得る ）
以下の図の場合などでは、Δｘが０で無い場合にΔｔ＝０になってしまいますが、その場合にも式４を使うことができ、
Δｘ→０の場合の、Δｘ≠０の場合にΔｔ＝０ となる場合を含む、全ての場合に式４を使うことができます。
（３）
関数ｇの微分係数の定義により、関数ｇの関数値ｔの微小変化量Δｔ＝Δｇ（ｘ）は、以下の計算により、式５で表せる。
この式５が成り立つ場合は、ｄｇ／ｄｘが有限の値を持ち関数ｇが変数ｘで微分可能な場合である。
この式５のように、関数ｇの関数値ｔの微小変化量Δｔは、関数ｇの変数ｘによる微分係数（ｄｇ／ｄｘ）に変数ｘの微小変化量Δｘを掛け算した値にほぼ等しい関係があり、
その式の誤差を ε2 で表す。
（４）
Δｔが式⑤で表されるので、
Δｘ→０ の場合に、
Δｔ→０ になる。
そのため、
になる。
-------（注意）---------------
しかし、
Δｔ→０ の場合に、
Δｘ→０ になるとは限らない。
例えば、以下の図の関数ｔ＝ｇ（ｘ）の場合では：
Δｔ→０ の場合に、
Δｘ→－２～２ になる。
----（注意おわり）-------------------------------
（５）
次に、合成関数の微小量Δｙ＝Δｆ（ｇ（ｘ））を以下の式で計算する。
先ず、式３により、変数ｘの微小変化量Δｘに対応する合成関数ｆ（ｇ（ｘ））の関数値ｙの微小変化量Δｙ＝Δｆ（ｇ（ｘ））は、変数ｔの微小変化量Δｔに対応する関数ｆ（ｔ）の関数値ｙの微小変化量Δｆ（ｔ）に等しい。
そのΔｆ（ｔ）に式４を代入することで、以下の式が得られる。
すなわち、合成関数の微小変化量は、その変数ｘの微小変化量Δｘに対応付けられた変数ｔの微小変化量Δｔに対応する、関数ｆ（ｔ）の関数値の微小変化量Δｙと等しく、上の式で表わされる。
また、関数ｆの関数値ｙの微小変化量Δｙは、その関数ｆの変数ｔによる微分係数とΔｔとの積とほぼ同じであり、その式の間の誤差が ε1 Δｔであらわされる。
その変数ｔの微小変化量Δｔは、式⑤によって、変数ｘの微小変化量Δｘと結び付いている。その式⑤を代入することで以下の式が得られる。
よって、合成関数ｆ（ｇ（ｘ））を変数ｘで微分した微分係数は、
関数ｆ（ｔ）を変数ｔで微分した微分係数と、
関数ｇ（ｘ）を変数ｘで微分した微分係数の積に等しい。
（証明おわり）
《間違えやすい証明》
以下の証明方法については、以下の証明の様に場合分けをせず、一方の場合について証明していないため公式が証明できていない偽の証明が流布しているので注意してください。
（また、その偽の証明を押しつけられたからと言って合成関数の微分の公式を嫌いにならないで欲しいと思います。）
合成関数の微分の公式は、以下の様に表現するのが正しいのです。
小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」の114ページに、合成関数の微分の公式を偽の証明にしないように注意すべき点が明確に、かつ、詳しく説明されています。
（証明開始）
例えば、以下のような関数ｇ（ｘ）の場合にｋ＝０になります。
この場合は、以下の図の様な場合があることを考慮し：
以下の条件が成り立つ場合に：
一方、ｋ≠０の場合は：
（証明おわり）
（補足４）
合成関数の微分の公式は、以下のように式の項を作っている関数のかたまりを微分を仲介する変数にして、その変数で微分して、後で、その関数のかたまりを微分するという計算を可能にします。
（検算）この答えが正しいか否かを、以下のグラフを思い描いて確認してください。
想像したグラフの傾きがマイナスであることと、微分計算結果の式がマイナスになることが一致しているので、この計算結果が正しそうだと確認できました。
（検算おわり）
合成関数の微分の公式を使うことにより、微分の計算がだいぶ楽になる。合成関数の微分の公式は、微分の計算にとって、生物が必要とする空気のように必要な公式です。
【合成関数の微分の公式の成立条件】
この合成関数の微分の公式には縛り（成立条件）があります。
それは、
「ｈ ≡ ｆ（ｇ）のｇによる微分が存在し（確定した有限値になる）、
ｇ（ｘ）のｘによる微分が存在する（確定した有限値になる）」
という前提条件です。
---（定義2.1 「微分積分学入門」（横田 壽）６７ページ---
関数f(x) がx0 を含むある区間で定義されているとき，極限値
が（有限な値で）存在するならば，
関数f(x) は， x = x0 で微分可能(differentiable) であるといいます．
また，この極限値A を点x0 における微分係数といい，
で表わします．
-----（定義おわり）---------------------------
この、有限の微分係数が（有限な値で）存在する（微分可能）という前提条件は、いわば、
「式を０で割り算する計算をしてはいけない」
という計算の縛りと同じ様な意味を持っています。
すなわち、「微分可能」という前提条件は、
「０で割り算しない場合に限る」という前提条件 、
言いかえると、
「計算の違反が無い計算に限る」という前提条件、
を加えて微分の式を書くことです。
そういう「万能の条件」を正しく組み込んで計算するならば、計算の自由度が高くなります。
『合成関数を構成する２つの関数が何れも「微分可能＝微分係数が有限の確定値になる」であるように関数の変数の定義域を定める』という前提条件付きで、パラメータ関数 ｇ（ｘ） や ｓ（ｘ） を自由に選ぶことができます。
その様に計算の自由度を高くするから合成関数の微分の公式が成り立つのだと考えます。
《媒介変数を利用した証明》
変数ｘや関数ｈ(x) を媒介変数ｔであらわして、微分を計算してみます。
ここで、関数p(t)は１つのｔに対して１つのｘを対応させる関数です。そのため、以下のグラフは関数p(t)ではあらわせません。その理由は、１つのｔに対して複数のｘが対応している部分があるからです。
ここで、以下の関数t=g(x)を考えます。
ここで注意すべき事は、上のグラフは関数g(x)で表せるという事です。
次に、媒介変数ｔを使って以下の計算をします。
ここで、以下の極限を考えることができます。
そのため、関数p(t)であらわせるグラフの部分の端で、g'(x)=0となる部分も含めて、以下の式が成り立ちます。
（関数p(t)で表す事が出来なかった関数g(x)のグラフの部分）
g'(x)=0になる部分でのf(g(x))=h(x)は：
その部分でg(x)=tの値が変わらないので、
f(g(x))=f(t)の値も変わらず、
h'(x)=0
になります。
よって、その関数の部分でも、以下の式が成り立ちます。
よって、関数g(x)で表せるグラフならば、上の式が成り立つ。
（証明おわり）
【合成関数の微分の事例】
（事例１）合成関数の微分の公式はどこまで使えるか
以上の関数f(x)を、関数g(x)=tで表される媒介変数ｔで表した関数をh(t)とすると、関数h(t)は、
ｘ≧０
の範囲では、以下の式であらわす事ができる。
関数f(x)をｘで微分すると以下の式のように１になる。
関数f(x)はｔの関数h(t)と等しい。
関数h(t)の変数ｔを関数g(x)に置き換えてあらわした合成関数h(g(x))を合成関数の微分の公式で微分する。
ここで、ｔ＝０の場合には、
h'(t)が無限大に発散するのでh(t)が微分不可能である。
すなわち、ｔ＝０に対応するｘ＝０の場合にh(t)が微分不可能である。よって、h(t)が微分可能な場合に限って微分した結果は：
以上の計算の様に、h(t)とg(x)が微分可能な場合であるｘ＞０の範囲では、合成関数の微分の公式の成立条件が満たされる。
そして、その条件の下で、合成関数の微分の公式を使ったf(x)=h(g(x))の微分の計算結果が１になった。
これは、関数f(x)をｘで微分した結果と一致した。
（注意）ここで注意すべき点は、x=0で合成関数h(g(x))が微分可能であって、g(x)も微分可能であっても、t=0での関数h(t)が微分可能にはなっていない事です。合成関数の微分の公式は、g(x)が微分可能であって、h(t)が微分可能である、という条件に対して、合成関数f(x)=h(g(x))が微分可能であると言えるという公式なのです。
（事例１おわり）
（事例２）どんな関数を使っても合成できる
先の事例１を更に発展させます。
関数h(t)と、媒介変数ｔを表す関数 t=g(x)を合成して、関数f(x)をあらわします。
また、関数f(x)がxとなる場合で、関数 h(t)=√t とする場合を考えます。
この関数g(x)は、Xが０より小さい定義域の場合と０より大きい定義域の場合とでは、関数を表す数式が異なる事に注意してください。
（この様に関数は、定義域（の部分）と数式を組み合わせて定義します。数式が定義域を定めるというのではありません。）
関数 f(x)は、この関数g(x)と以下で示す関数h(t)の合成関数です。
関数 h(t)は、以下のグラフで表せます。
合成関数の微分の公式を利用して、この合成関数h(g(x))を変数Xで微分する場合に、ｘ＝０でｔ＝g(0)＝０の場合には、関数h(t)は微分可能ではありません。
そのため、ｘ＝０でｔ＝０の場合には、合成関数の微分の公式が適用できません。
それゆえ、ｘ＝０でg'(0)=0ですが、そのg'(0)=0がh'(t)に掛け合わされる事は無く、
合成関数の微分の公式で適用可能な条件を満足する場合での微分結果は、いつでも１になります。
（事例２おわり）
（事例２の補足）合成関数の微分の公式の拡張可能性
この事例２では、ｔ＝０,(x=0)では関数h(t)が微分不可能なので、ｘ＝０の点では、合成関数の微分の公式が適用できませんでした。
しかし、このｔ＝０,(x=0)の点でも合成関数h(t)は存在し、また、関数h(t)を変数ｘで表すとh(t)=f(x)=xなので、
合成関数h(t)は、t=0,(x=0)となる点で、ｘで微分可能です。
すなわち、ｔ＝０，(x=0)となる点では、
dh(t)/dx＝１，
であって解が存在します。
すなわち、
（条件１）その点で合成関数h(t)や媒介変数ｔの関数t=g(x)が連続である場合に。
（条件２）その点の近傍まで、合成関数の微分の公式の解：
dh(t)/dx=f'(x)
が求められる場合に。
（極限操作）
その点に限りなく近づける、
ｘ→０
の極限で
dh(t)/dx=f'(x)
の極限があれば、
その極限を、
ｘ＝０での微分の解f'(0)
として解を求める事ができます。
（結論）
この条件が満たされる場合に、極限操作をする事によって、合成関数の微分の公式が適用出来ない範囲まで拡張して関数h(t)=f(x)の微分を求める事ができます。
（この拡張可能性は安易に使わず、これが可能である事を証明してから使ってください）
（事例３）
以下の関数f(x)を、以下の関数g(x)の合成関数と考えて合成関数の微分の公式が使えるかどうかを考える。
関数f(x)は、
－1≦ｘ≦1
の範囲では、以下の式の合成関数であらわす事ができる。
この関数f(x)をｘで微分する。
この関数f(x)を合成関数の微分の公式で微分する。
ここで、cos(g)＝０の場合には微分できないので、ｘ＝sin(g)＝±1の場合も微分できない。
よって、微分結果は：
以上の結果、－１＜ｘ＜１の範囲では、合成関数の微分の公式が適用できて、合成関数の微分の公式を使って微分できた。
（事例３おわり）
合成関数の微分の公式は、どんな関数ｇ(x)を使って合成した関数でも、微分が適用可能な範囲を狭くしていく事で、
適用可能でした。
これが意味することは、合成関数の微分の公式は、関数f(x)を微分するために、任意の関数g(x)で定義される媒介変数ｔが使えるという事です。その媒介変数ｔで表した関数h(t)=f(x)を使って、媒介変数ｔでの微分を介して、関数を微分する事ができる事を表した公式です。
【微分可能で無いとき起きる不思議な現象】
次に、合成関数の微分の公式に関連することとして、以下の２つの注意の事例にあるように、「２つの接するグラフが接点における等しい微分係数を持つ」ことが、グラフの座標変換によって変わってしまう、ことが有り得ます。
そのようにおかしな事が起きても、それは、合成関数の微分の公式が間違っているわけでは無く、それは微分の本質的な問題であると正しく認識して下さい。
合成関数の微分の公式が成り立つ範囲では、その様なおかしな事は起きません。そのため、合成関数の微分の公式の適用範囲が、すなわち、おかしな事が起きない、計算の秩序が守られる範囲を定めているとも言えます。
その現象が起きたとき、合成関数の微分の公式の前提条件である「微分可能」が成り立っていないので、合成関数の微分の公式の適用範囲の外で、そういう不思議な事がおこります。
（注意１）
以下の２つのグラフが、ｘ＝０で微分係数が等しいです。
この場合、合成関数の微分の公式によって、これらの関数を他の変数ｔで微分した微分係数も等しくなるでしょうか。
以下で、この合成関数を詳しくしらべてみます。
ｘのｔによる関数を以下の式で定義してみます。
グラフの関数を変数ｔであらわす各関数を計算します。
次に、合成関数の微分の公式を適用して各関数の微分係数を計算してみます。
ｘ＝０の場合に、（ｄｘ／ｄｔ）の値が有限で無いので、
ｘがｔで微分可能ではありません。
そのため、合成関数の微分の公式の適用外になります。
ｘ＝０の場合に、合成関数の微分の公式は０に無限大を掛け算する計算になっています。
ｘ＝０で、両関数の微分係数が同じであっても、
その場合に合成関数の微分の公式が適用できないので、
ｘ＝０で、両関数の微分係数（ｄｙ／ｄｔ）は、
合成関数の微分の公式は両関数の微分係数が等しくなることを保証しているわけではありません。
（合成関数の微分の公式から受ける印象が私たちを裏切っています）
一方、ｘ＝０で、これらの合成関数は、上図のグラフのようにしっかり定義されていて、ｘ＝０においても微分係数が定義できています。
そして、ｘ＝０で、両関数の微分係数（ｄｙ／ｄｔ）が異なっています。
なお、ある変数の値において公式が適用できない関数を含む場合の合成関数の微分の公式は、
公式の適用条件の「各関数の微分可能性」が守られている変数の値の範囲内ならば、その値がどの値の場合においても成り立っています。
例えば、変数ｘが以下の図の関数で変数ｔに変換される場合：
この図の関数は、ｘ＝１に対応するｔ＝０では微分不能ですが、ｘ＝０に対応するｔ＝－１では微分可能ですので、ｔ＝－１では、合成関数の微分の公式が成り立っています。
この関数によって、先のＸＹ平面上でｘ＝０の点で接する２つのグラフは、ｔＹ平面上に写像したグラフにおいても、グラフが共通の点を持つｔ＝－１の位置において、２つのグラフは同じ微分係数（ｄｙ／ｄｔ）を持ち、その点で接しています。
（注意２）
以下の曲線と直線が、ｘ＝１の点で接しています。
その接点で曲線と直線の微分係数が等しいです。
このグラフの座標系を以下の様に変換していきます。
上図には、２つのグラフそれぞれに対して、ｄｚ／ｄｘの式を記載しました。
ｄｚ／ｄｘは、各グラフ毎の、ｚを与える関数（ｚ＝ｆ（ｘ）やｚ＝ｐ（ｘ））を変数ｘで微分することを表しています。
そのため、グラフ毎に異なる２つの式の、ｄｚ／ｄｘ＝ｆ’（ｘ）と、ｄｚ／ｄｘ＝ｐ’（ｘ）の式があります。
ここで、以下のグラフの関数で、変数ｘを変数ｔに変換します。
こうして、当初の曲線と直線が、上図の折れ線と直線に変換されました。
この折れ線の折れ点では微分が不可能です。
合成関数の微分の計算では、その点でｄｓ／ｄｔが有限な値では無いので、その点では合成関数の微分の公式が適用できません。
そして、折れ線では、折れ点で微分係数が存在しません。
（そもそも、折れ線の左右の微分係数がー１と１という異なる微分係数の値を持っていますので、折れ点では微分係数が定まりません）
折れ点で折れ線とｚ＝０の直線（微分係数ｄｚ／ｄｔ＝０）とが接触していますが、折れ点の微分係数がそれと同じであるとは言えません。
この例では、当初は接触点において微分係数が等しかった２つのグラフが、座標系を変換して形を変えた２つのグラフに変換すると、その接触点で、微分係数が異なるグラフに変わりました。
（合成関数の微分の公式の本質）
合成関数の微分の公式の本質は、
が成り立つことにあるのでは無く、以下のことが、本質ではないかと考えます。
（１）上の式の関係は通常は成り立っているものと考えるが、
（２）その式が成り立たない場合があることを、合成関数の微分の公式が示している。
その問題を生じる必要条件は、上式の各微分係数要素（導関数要素と呼ぶ）の中に、微分可能で無いものがあること（有限の値に確定した微分係数を持たない）
（問題を生じない十分条件は、全ての導関数要素が微分可能であること）
であることを、合成関数の微分の公式が教えている、
と考えた方が良いと思います。
例えば、変数ｘで表される２つの関数ｙ1とｙ2があって、
変数ｘのある値ｘ0における、２つの関数ｙ1とｙ2のｘによる微分係数が、
という式であらわされて、等しかったとします。
このとき、他の変数ｔで微分した場合に、
が成り立つと普通は考えますが、それが成り立つための１つの十分条件は、
という合成関数の微分の公式に記載されたその他の導関数要素であるｄｘ／ｄｔが、ｘ＝ｘ0の点において微分可能であることである。
これが、合成関数の微分の公式の本質ではないかと考えます。
なお、
は、
が成り立つための十分条件では無い。
その理由は、その他の導関数要素のｄｘ／ｄｔがｘ＝ｘ0で無限大になれば、元の導関数要素のｄｙ／ｄｘがｘ＝ｘ0で０であることの影響が打ち消されるからである。
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高校数学の目次
このページは、初めて合成関数の微分の公式を学ぶ者にとって内容が多くなり過ぎました、そのため、この内容を短くしたページを作りました。
初めて合成関数の微分の公式を学ぶ人は、ここをクリックした先のページを先に見てください。
その後で必要があれば、このページに戻ってきてください。
（ページ内リンク先）
▽はじめに
▽合成関数の微分の公式の概念
▽合成関数の微分の公式の定義
▽合成関数とは
▽合成関数の微分の公式の意味
▽合成関数の微分の公式の本質が見えない形の表現の問題
▽合成関数の微分の公式のごまかしが無い証明
▽簡単でわかり易い証明
▽完全な証明
▽間違えやすい証明
▽公式の成立条件
▽媒介変数を利用した証明
▽合成関数の微分の事例
▽（事例２）どんな関数を使っても合成できる
▽微分可能で無いとき起きる不思議な現象
▽合成関数の微分の公式の本質
（はじめに）
（５）微分の知識の整理
の章に入ります。
高校生が数学の学習から脱落する：
高校２年生から、極限・微分・積分の「意味がわからない」「つまらない」「教わる計算方法が正しいと言える理由（証明）がわからない」で数学の学習から脱落する高校２年生が多いらしい。
その脱落の原因は、どうやら、合成関数の微分の公式らしい。
高校３年の教科書の合成関数の微分の公式の証明が間違っているのと、
高校２年に微分を教える際に合成関数の微分の公式を教えない教育が１９５５年ころから続いているのと、
それと、合成関数の微分の公式の表現そのものが、異なる関数を同じ記号で表す混乱があり、また、関数と関数の値とを区別しないことで、学生が覚えたばかり関数の定義を否定するちゃぶ台返しで関数の定義をひっくり返していること等が、
「微分の意味がわからない」原因になっているのではないかと考えます。
それらの間違いを正すことで、数学の学習から脱落する者を減らすため、 合成関数の微分の公式を高校教科書よりも正確に証明します。
（大学１年生向けの参考書：例えば：「やさしく学べる微分積分」（石村園子） ￥2000円 の証明は間違いが無く、高校２年生が初めて微分積分を勉強するのにも、適切な参考書だと思います）
《合成関数の微分の公式の概念》
以下の関数のグラフの概形を素早く求める方法を考える。
《このグラフの概形》
（１）
x→±∞のとき、このグラフが、
（２）
ｘ座標の正負反転で対称なグラフであることも想像できます。
（３）
ｘ＝０のとき、
ｙ＝１
になるグラフであることも想像できます。
（４）
ｘ＝０でのグラフの傾きを、以下の様にして想像できます。
ｘ→Δｘのとき、すなわち、ｘが０に近いとき：
それにより、
ｘ＝０でのグラフの傾きΔｙ/Δｘは０であると想像できます。
ここで、そのようにグラフの傾きが想像できるのは、このグラフの式を媒介する
このように、「グラフの式を媒介する関数」という概念が考えられます。
以上の
【合成関数の微分の公式の定義】
合成関数の微分の公式は、以下の式で表現すると、正確、かつ、分かりやすく定義されます。
（１）その変数の値ｇに対して、（ｄｆ／ｄｇ）＝ｆ’（ｇ）の有限の値の確定した値の微分係数が存在し（微分可能）、
（２）その変数の値ｘに対して、（ｄｇ／ｄｘ）＝ｇ’（ｘ）の有限の値の確定した値の微分係数が存在する（微分可能）、
という前提条件が成り立っている場合に成り立つ公式です。そして、その前提条件が成り立つ場合に、合成関数f(g(x))が微分可能であって、それら関数の間にその公式が成り立つ、という公式です。
（定義おわり）
（合成関数とは）
そもそも、「合成関数」とは何なのか、という問題があります。
「微分積分学入門」（横田 壽）の２１ページ近くに、合成関数の定義が書いてあります。
（注：横田教授が芝浦工業大学を退官したため、この教科書を無料で掲載するWebページが無くなりました。この本は書店で購入できます。）
それ以外に、高校２年生が勉強するのに適切な、書店で購入できる微分積分の参考書は：
「やさしく学べる微分積分」（石村園子） ￥2000円
が内容がわかり易くて良いと思います。
合成関数(composite functions)
関数どうしのつなぎ方として，
合成法則(composition) とよばれる方法について考えます．
まず， f(x) とg(x)2 つの関数を用意します．
次に任意のx に対して規則g を用いて1 つの実数g(x) を取り出します．
もしこのg(x) が関数f(x) の定義域に入っていれば，
規則f を用いて1 つの実数f(g(x)) を取り出すことができるでしょう．
ところで，この実数f(g(x)) は何なのでしょうか．
もしg(x) の値域がf(x) の定義域に含まれていれば，
g(x) の定義域内の各数x に対して， f(g(x)) を作ることができます．
これはg(x) の定義域内の各数x に対し，ただ1 つの実数f(g(x)) を定める規則と考えられます．
よってこの規則をf とg の合成関数(composite function) といい，
f ◦ g で表わすと(f ◦ g)(x) = f(g(x)) となります．
以下に合成関数の例をあげます。
関数ｈは、ｇというパラメータ関数を使って、式１と式２とであらわした、結局は式３の形のｘの関数です。
ｈは、式１の形と式３の形との２つの形の式であらわすことができます。
この関数ｈは、以下の形の合成関数の形であらわすこともできます。
ｈは、式３の形や式４の形であらわせました。
（合成関数とはの説明終わり）
（合成関数の微分の公式の意味）
以下の合成関数の微分の公式：
ｙ＝ｆ（ｇ（ｘ））＝ｈ（ｘ）
という関数を作った場合に、
変数ｘのある値ｘにおいて、変数ｇの値が定まり、
それらの各変数の値において、
ｆ’（ｇ）＝（ｄｆ／ｄｇ）と、
ｇ’（ｘ）＝（ｄｇ／ｄｘ）との積が、
ｈ’（ｘ）＝（ｄｈ／ ｄｘ）になる、
という公式です。
（変数の他の値の場合については、その変数値毎に考察する公式です）
どの関数ｆ（ｇ）とｇ（ｘ）を使って合成関数を作っても、公式の成立条件が満足されれば、公式が成り立つ、という公式です。（事例２を参照）
この公式には一定の縛り（成立条件）があります。それは：
（１）その変数の値ｇに対して、（ｄｈ／ｄｇ）＝ｆ’（ｇ）の有限の値の確定した値の微分係数が存在し（微分可能）、
（２）その変数の値ｘに対して、（ｄｇ／ｄｘ）＝ｇ’（ｘ）の有限の値の確定した値の微分係数が存在する（微分可能）、
であるという前提条件です。
「関数が微分可能（有限の値の確定した値の微分係数が存在する）」
という意味は、
「関数が、その変数のその値に限って、その変数で微分可能であれば良く、その変数のその他の値での関数の微分可能性は関係しない」
という意味です。
【合成関数の微分の公式の本質が見えない形の表現の問題】
合成関数の微分の公式が以下の式で表現されることがあります。
（式１）：
（１）第１の問題点：
式１のように表現すると、変数ｈとｘとｇの間の関係をあらわす式だと誤解されやすい点が第１の問題です。
この式１で表現されると、合成関数の微分の公式は、変数の間の関係式の様に見えてしまいます。しかし、そうでは無く、関数の微分係数の間の関係式なのです。
右辺の（ｄｈ／ｄｇ）という表現の意味は、ｈをｇであらわす関数ｆ（ｇ）が存在し、
ｈ＝ ｆ（ｇ）と表せる関数関係があるという意味を持ちます。
また、その関数の微分（ｄｆ（ｇ）／ｄｇ）が有限の値の確定した値の微分係数を持たなければなりません。
（ｄｇ／ｄｘ）という表現の意味は、ｇをｘであらわす関数ｇ（ｘ）が存在し、
ｇ＝ｇ（ｘ）と表せる関数関係があるという意味を持ちます。
また、その関数の微分（ｄｇ（ｘ）／ｄｘ）が有限の値の確定した値の微分係数を持たなければなりません。
それらが成り立つことが、合成関数の微分の公式が成り立つ大前提です。
（２）第２の問題点：
式１の左辺の（ｄｈ／ｄｘ）という表現の意味は、ｈをｘであらわす関数ｈ（ｘ）が存在し、
ｈ＝ ｈ（ｘ）＝ｆ（ｇ（ｘ））と表せる関数関係があるという意味を持ちます。
左辺の （ｄｈ／ｄｘ）のｈが関数の名前を表すと解釈すると、右辺の（ｄｈ／ｄｇ）のｈは、左辺の関数ｈ（ｘ）とは異なる名前の関数ｆ（ｇ）を表しています。
同じ名前で異なる関数を表すという矛盾があります。
合成関数の微分の公式は、関数の関係を表していますが、式１の表現は、関数値の微小量の変化の間の関係で関数関係を表していて、関数が存在するという公式の大前提が分かりにくい表現になっています。
（３）関数値の名づけ方がおかしい問題：
式１で関数値を表すと、異なる関数の合成関数の微分が区別されない表現になり、
ｈ＝ｆ（ｇ）と、
ｈ＝ｋ（ｇ）との
２つの異なる関数の合成関数の微分が、
いずれも、
（式１）：
この問題を改善して、ｈが特定の関数をあらわすことを明確にするために、
例えば、変数ｇとｘの間に
２つの関数のグラフ
しかし、この式でも、
つまり、
右辺の関数
２つの異なる式、
（関数とは変数と関数の値との関係をあらわすものなので、変数が別の新変数に変換されると、その関数の値と新変数との間には新しい関係が生まれ、その新しい関係を表す新しい関数は、元の変数における関数とは異なります。）
これらの問題がある根本的な理由は：
（式１）：
また、式１の左辺のｄｈの表現には、ｄｈが、公式が対象にする大前提の合成関数の関数ｈ＝ｆ（ｇ（ｘ））＝ｈ（ｘ）の変化量を表しているという、公式が対象にする合成関数ｈが存在するという大前提をあらわす情報が含まれていないこと。
にあります。
そのように、合成関数の微分の公式が個々の関数に係る公式であるという、関数の情報が式１には含まれていないため、ｈｘ座標平面上の２つのグラフの微分係数を、この公式で表現しようとすると、
ｈがそれぞれのグラフのｈ座標（関数の値）の変化量を表すという情報が式１には含まれていないので、
その２つのグラフのどちらの微分係数も、
（ｄｈ／ｄｘ）という同じ式であらわすしか無いというおかしな事態が生じてしまうのです。
このように、変数を変換する前の関数と後の関数を同じ記号ｈで表す違反があり、また、対象にする関数の情報も含まれていないので、式が分かりにくく、
「意味不明だ」「疑わしい公式だ」と言われるかもしれませんが、、、
関数の出身元（関数値）を見やすくするために、関数の定義の違反を犯ししてでも同じ記号を使う表現を容赦して欲しいと思います。
（しかし、この表現によって、関数が、変数と関数値の間の関係を表すと教わったばかりの学生に対して、合成関数の微分の公式を教えるこの場で、関数が、あたかも関数値で定義されるような、関数について教わった定義を否定するような事を教えることで、合成関数の微分の公式が分からないのと同時に、ちゃぶ台返しによってひっくり返された、関数の定義もわからなくなる、という弊害があるかもしれません。）
上の式で合成関数の微分の公式を表現すると、関数が変数と関数値の間の関係を表すことがしっかり身についている学生には、「合成関数の微分の公式が関数の間の関係を表しているとは思えない」と言われるかもしれませんが、、、
合成関数の微分の公式は、関数の間の関係を表す公式です。そして、合成関数の微分の公式の微分の式で使う全ての変数ｙやｘやその他の媒介変数ｇ同士は、必ず、その変数を他の変数であらわす不変な関数で結ばれているという大前提があります。
その関数はどの式であっても良いですが、計算の途中で変化することが無い、いつも変わらない関係式であることが微分の計算の大前提です。
【合成関数の微分の公式の証明】
合成関数の微分の公式が分かるために、以下のように、
ごまかしが無い正しい証明をすることで、合成関数の微分の公式の例外が出る条件がはっきりし、合成関数の微分の公式の意味が分かるようになります。
《証明開始》
合成関数の微分の公式を以下の式で表すことにします。
（ｆ（ｇ）＝ｈ（ｘ）という関係を強調するために、以下の説明では、あえて、ｆ(g)とｈ(x)を混同して説明する。）
ｈ＝ｆ（ｇ（ｘ））＝ｈ（ｘ）という合成関数をあらわしています。
また、右辺の導関数
ｈ＝ｆ（ｇ）という、左辺の関数ｈとは異なる関数をあらわしています。
（１）先ず、ｈ＝ｆ（ｇ）をｇの関数と考え、ｈはｇが変化したときにどのくらい変化するか調べるため、ｈ＝ｆ（ｇ）をｇで微分する。
（関数ｆの関数値ｈの微小な変化量をΔｈであらわし、関数ｆの変数ｇの微小な変化量をΔｇであらわしたときに：
（Δｈ／Δｇ）の極限が有限の値になる）
なら、
Δｈが以下の式に近似できる。
（Δｇが０に近づくと正確に成り立ちます）
《簡単でわかり易い証明》
「微分積分学入門」（著者：横田 壽）の７５ページ近くに、もっと鮮やかな合成関数の微分の公式の証明を見つけました。それは、以下のようにする証明です。
（証明開始）下図を参照のこと。
「ｈ = ｆ（ｇ）のｇによる微分が存在し（確定した有限値になる）、
ｇ（ｘ）のｘによる微分が存在する（確定した有限値になる）」場合：
（補足１）
上の図を参照しつつ、以下の様に、ΔｘからΔｇ、次にΔｈを見積もることで証明しても良いです。
《証明開始》
（補足２）
上の証明において、
Δｈの値を
以下の様に、Δｈを全く近似しないで表すために、以下の関数ｂ（ｇ，Δｇ）を使って計算する証明方法もあります。
（ｆ（ｇ）＝ｈ（ｘ）という関係を強調するために、以下の説明では、あえて、ｆ(g)とｈ(x)を混同して説明する。）
《証明開始》
（補足３）
全く近似しない厳密な証明をしたいならば、以下の、伝統的な、厳密な証明の方がスッキリした証明だと思いました。しかしながら、以下の証明を、全くごまかし無く記載した「完全な証明」に書き換えると、関数の定義を導入する必要がある等のけっこうゴタゴタした証明になりました。そのため、上の証明の方がスッキリした厳密な証明方法かもしれません。
《伝統的な厳密な証明》
《完全な証明》
上の「厳密な証明」では、大前提の関数の役割が顕わでなく、関数値の関係しか記載されていないので、未だ、気持ちの晴れない証明だと思います。
そのため、以下の証明の様に、関数の役割を顕わに示す証明に書き換えました。
（合成関数の微分の公式の厳密な定義）
変数ｘのある値ｘとその近傍の値において、変数ｔが、変数ｘのある関数ｇによって、以下の式１で表される変数間の関係が定まっているものとする。
その値と近傍の値の変数ｘが、その値の関数値ｙを定める、以下の式２で表される合成関数が表される。
関数値ｙの微小変化は以下の式３であらわされる。
式３であらわすように、変数ｘの、その変数値からの微小変化Δｘに対応して定まる合成関数ｆ（ｇ（ｘ））の微小変化Δｙと同じである。
ここで、変数ｔの微小変化Δｔは、変数ｘの微小変化Δｘに対応して定まっている。その変数ｘとｔの対応関係は関数ｇで結ばれて定まっている。
このとき、以下の式のように、変数ｘのその値において、関数ｇが変数ｘによって微分可能であり、
その値の変数ｘに対応する変数ｔの値において、
関数ｆが変数ｔによって微分可能であるならば、
以下の合成関数の微分の公式であらわされる関係がある。
関数ｆを変数ｔで微分した微分係数と、
関数ｇを変数ｘで微分した微分係数の積に等しい関係がある。
これが、合成関数の微分の公式の厳密な定義です。
（証明開始）
次に、これを証明します。
（１）
先に式３で表したように、変数ｘがΔｘの値で微小変化した場合の合成関数ｆ（ｇ（ｘ））の関数値ｙの微小変化量Δｙは、変数ｘに対応して変数ｔが微小量Δｔだけ微小変化した場合の、変数ｔの関数ｆの関数値ｙの微小変化量Δｙと等しい。
（２）
関数ｆの微分係数の定義により、関数ｆの関数値ｙの微小変化量Δｙ＝Δｆ（ｔ）は、以下の計算により、式４で表せる。
（注意）
この式④は、誤差関数 ε1 が、Δｔ≠０の場合だけで定義されているので、式④も、Δｔ≠０となる場合だけで有効です。この式④の有効範囲を拡張するため、Δｔ＝０の場合に定義されていなかった誤差関数 ε1 を、Δｔ＝０の場合にε1＝０と定義する。
----------（備考）------------------------------------
Δｔ＝０の場合に ε1 が０になるのは、誤差関数 ε1 がΔｔを変数とする連続関数（Δｔ＝０でも定義されている）なら当たり前の事ですが、誤差関数 ε1 は、導関数（ｄｆ／ｄｔ）と同様に、必ずしも連続関数にはならないのではないかと疑ったので、また、誤差関数が連続関数にならない場合には「合成関数の極限の裏切り」の図３（式３）のように異常なことがおこると困るので、追加することにした定義です。
例えば、以下の様に、ｔ＝０で微分可能な関数ｆ（ｔ）の導関数が、ｔ＝０で不連続な関数になる場合等もあるから油断できないからです。
（連続関数にならない導関数の例）
（注意）この導関数の計算は、合成関数の微分の公式が証明された後で、合成関数の微分の公式を使って計算してください。ここでは、そういう関数があるという事を例示するだけに留めます。
ｔ≠０の場合：
この関数はｔ＝０及びその近傍で微分可能で、その導関数は、
ｔ≠０の場合は、
この導関数が含むｃｏｓ（１／ｔ）の関数が以下のグラフであらわす関数になるからです。
そのため、この導関数はｔ＝０で不連続です。
この導関数は、ｔ＝０でこのように有限の値を持ちますが、ｔ→０の近傍で－１から１の値の間を振動して、ｆ’（０）の値に収束しないので、連続ではありません。
ただし、ｆ（ｔ）がこの関数の場合でも、誤差関数 ε1 は連続関数になりそうに思いますが、、、また、誤差関数 ε1 がｔ＝０で無限大にならない限り、その誤差関数が非連続であっても式④は成り立ちますが、、、
-----------（備考おわり）-----------------------------
この定義の追加によって、式④が、Δｔ＝０の場合にも使えるようになりました。
ここで、式④には矛盾が無いことを以下で説明します。
Δｔ＝０の場合に誤差関数 ε1 は無限大では無いので、 ε1Δｔ＝０です。また、ｄｆ／ｄｔが無限大では無い（微分可能）であるので、（ｄｆ／ｄｔ）Δｔ＝０です。
よって、Δｔ＝０の場合に式④の右辺は０になります。
一方、ｄｆ／ｄｔが無限大では無いので、Δｔ＝０の場合にΔｙ＝０になり、式④の左辺は０になります。
よって、Δｔ＝０の場合に式④は、矛盾無く成り立ちます。
（変数ｔの値ｔでｄｆ／ｄｔが無限大になる様に、微分可能では無い場合には、又は、Δｔ＝０で誤差関数 ε1 の値が無限大になる様な場合では、Δｔ＝０の場合にΔｙ≠０となるような事が起こり得る ）
以下の図の場合などでは、Δｘが０で無い場合にΔｔ＝０になってしまいますが、その場合にも式４を使うことができ、
Δｘ→０の場合の、Δｘ≠０の場合にΔｔ＝０ となる場合を含む、全ての場合に式４を使うことができます。
（３）
関数ｇの微分係数の定義により、関数ｇの関数値ｔの微小変化量Δｔ＝Δｇ（ｘ）は、以下の計算により、式５で表せる。
この式５のように、関数ｇの関数値ｔの微小変化量Δｔは、関数ｇの変数ｘによる微分係数（ｄｇ／ｄｘ）に変数ｘの微小変化量Δｘを掛け算した値にほぼ等しい関係があり、
その式の誤差を ε2 で表す。
（４）
Δｔが式⑤で表されるので、
Δｘ→０ の場合に、
Δｔ→０ になる。
そのため、
-------（注意）---------------
しかし、
Δｔ→０ の場合に、
Δｘ→０ になるとは限らない。
例えば、以下の図の関数ｔ＝ｇ（ｘ）の場合では：
Δｘ→－２～２ になる。
----（注意おわり）-------------------------------
（５）
次に、合成関数の微小量Δｙ＝Δｆ（ｇ（ｘ））を以下の式で計算する。
先ず、式３により、変数ｘの微小変化量Δｘに対応する合成関数ｆ（ｇ（ｘ））の関数値ｙの微小変化量Δｙ＝Δｆ（ｇ（ｘ））は、変数ｔの微小変化量Δｔに対応する関数ｆ（ｔ）の関数値ｙの微小変化量Δｆ（ｔ）に等しい。
そのΔｆ（ｔ）に式４を代入することで、以下の式が得られる。
また、関数ｆの関数値ｙの微小変化量Δｙは、その関数ｆの変数ｔによる微分係数とΔｔとの積とほぼ同じであり、その式の間の誤差が ε1 Δｔであらわされる。
その変数ｔの微小変化量Δｔは、式⑤によって、変数ｘの微小変化量Δｘと結び付いている。その式⑤を代入することで以下の式が得られる。
関数ｆ（ｔ）を変数ｔで微分した微分係数と、
関数ｇ（ｘ）を変数ｘで微分した微分係数の積に等しい。
（証明おわり）
《間違えやすい証明》
以下の証明方法については、以下の証明の様に場合分けをせず、一方の場合について証明していないため公式が証明できていない偽の証明が流布しているので注意してください。
（また、その偽の証明を押しつけられたからと言って合成関数の微分の公式を嫌いにならないで欲しいと思います。）
合成関数の微分の公式は、以下の様に表現するのが正しいのです。
（証明開始）
例えば、以下のような関数ｇ（ｘ）の場合にｋ＝０になります。
（補足４）
合成関数の微分の公式は、以下のように式の項を作っている関数のかたまりを微分を仲介する変数にして、その変数で微分して、後で、その関数のかたまりを微分するという計算を可能にします。
（検算おわり）
合成関数の微分の公式を使うことにより、微分の計算がだいぶ楽になる。合成関数の微分の公式は、微分の計算にとって、生物が必要とする空気のように必要な公式です。
【合成関数の微分の公式の成立条件】
この合成関数の微分の公式には縛り（成立条件）があります。
それは、
「ｈ ≡ ｆ（ｇ）のｇによる微分が存在し（確定した有限値になる）、
ｇ（ｘ）のｘによる微分が存在する（確定した有限値になる）」
という前提条件です。
---（定義2.1 「微分積分学入門」（横田 壽）６７ページ---
関数f(x) がx0 を含むある区間で定義されているとき，極限値
関数f(x) は， x = x0 で微分可能(differentiable) であるといいます．
また，この極限値A を点x0 における微分係数といい，
-----（定義おわり）---------------------------
この、有限の微分係数が（有限な値で）存在する（微分可能）という前提条件は、いわば、
「式を０で割り算する計算をしてはいけない」
という計算の縛りと同じ様な意味を持っています。
すなわち、「微分可能」という前提条件は、
「０で割り算しない場合に限る」という前提条件 、
言いかえると、
「計算の違反が無い計算に限る」という前提条件、
を加えて微分の式を書くことです。
そういう「万能の条件」を正しく組み込んで計算するならば、計算の自由度が高くなります。
『合成関数を構成する２つの関数が何れも「微分可能＝微分係数が有限の確定値になる」であるように関数の変数の定義域を定める』という前提条件付きで、パラメータ関数 ｇ（ｘ） や ｓ（ｘ） を自由に選ぶことができます。
その様に計算の自由度を高くするから合成関数の微分の公式が成り立つのだと考えます。
《媒介変数を利用した証明》
変数ｘや関数ｈ(x) を媒介変数ｔであらわして、微分を計算してみます。
次に、媒介変数ｔを使って以下の計算をします。
g'(x)=0になる部分でのf(g(x))=h(x)は：
その部分でg(x)=tの値が変わらないので、
f(g(x))=f(t)の値も変わらず、
h'(x)=0
になります。
よって、その関数の部分でも、以下の式が成り立ちます。
（証明おわり）
【合成関数の微分の事例】
（事例１）合成関数の微分の公式はどこまで使えるか
ｘ≧０
の範囲では、以下の式であらわす事ができる。
関数h(t)の変数ｔを関数g(x)に置き換えてあらわした合成関数h(g(x))を合成関数の微分の公式で微分する。
h'(t)が無限大に発散するのでh(t)が微分不可能である。
すなわち、ｔ＝０に対応するｘ＝０の場合にh(t)が微分不可能である。よって、h(t)が微分可能な場合に限って微分した結果は：
そして、その条件の下で、合成関数の微分の公式を使ったf(x)=h(g(x))の微分の計算結果が１になった。
これは、関数f(x)をｘで微分した結果と一致した。
（注意）ここで注意すべき点は、x=0で合成関数h(g(x))が微分可能であって、g(x)も微分可能であっても、t=0での関数h(t)が微分可能にはなっていない事です。合成関数の微分の公式は、g(x)が微分可能であって、h(t)が微分可能である、という条件に対して、合成関数f(x)=h(g(x))が微分可能であると言えるという公式なのです。
（事例１おわり）
（事例２）どんな関数を使っても合成できる
先の事例１を更に発展させます。
関数h(t)と、媒介変数ｔを表す関数 t=g(x)を合成して、関数f(x)をあらわします。
また、関数f(x)がxとなる場合で、関数 h(t)=√t とする場合を考えます。
（この様に関数は、定義域（の部分）と数式を組み合わせて定義します。数式が定義域を定めるというのではありません。）
関数 f(x)は、この関数g(x)と以下で示す関数h(t)の合成関数です。
そのため、ｘ＝０でｔ＝０の場合には、合成関数の微分の公式が適用できません。
それゆえ、ｘ＝０でg'(0)=0ですが、そのg'(0)=0がh'(t)に掛け合わされる事は無く、
合成関数の微分の公式で適用可能な条件を満足する場合での微分結果は、いつでも１になります。
（事例２おわり）
（事例２の補足）合成関数の微分の公式の拡張可能性
この事例２では、ｔ＝０,(x=0)では関数h(t)が微分不可能なので、ｘ＝０の点では、合成関数の微分の公式が適用できませんでした。
しかし、このｔ＝０,(x=0)の点でも合成関数h(t)は存在し、また、関数h(t)を変数ｘで表すとh(t)=f(x)=xなので、
合成関数h(t)は、t=0,(x=0)となる点で、ｘで微分可能です。
すなわち、ｔ＝０，(x=0)となる点では、
dh(t)/dx＝１，
であって解が存在します。
すなわち、
（条件１）その点で合成関数h(t)や媒介変数ｔの関数t=g(x)が連続である場合に。
（条件２）その点の近傍まで、合成関数の微分の公式の解：
dh(t)/dx=f'(x)
が求められる場合に。
（極限操作）
その点に限りなく近づける、
ｘ→０
の極限で
dh(t)/dx=f'(x)
の極限があれば、
その極限を、
ｘ＝０での微分の解f'(0)
として解を求める事ができます。
（結論）
この条件が満たされる場合に、極限操作をする事によって、合成関数の微分の公式が適用出来ない範囲まで拡張して関数h(t)=f(x)の微分を求める事ができます。
（この拡張可能性は安易に使わず、これが可能である事を証明してから使ってください）
（事例３）
以下の関数f(x)を、以下の関数g(x)の合成関数と考えて合成関数の微分の公式が使えるかどうかを考える。
－1≦ｘ≦1
の範囲では、以下の式の合成関数であらわす事ができる。
よって、微分結果は：
（事例３おわり）
合成関数の微分の公式は、どんな関数ｇ(x)を使って合成した関数でも、微分が適用可能な範囲を狭くしていく事で、
適用可能でした。
これが意味することは、合成関数の微分の公式は、関数f(x)を微分するために、任意の関数g(x)で定義される媒介変数ｔが使えるという事です。その媒介変数ｔで表した関数h(t)=f(x)を使って、媒介変数ｔでの微分を介して、関数を微分する事ができる事を表した公式です。
【微分可能で無いとき起きる不思議な現象】
次に、合成関数の微分の公式に関連することとして、以下の２つの注意の事例にあるように、「２つの接するグラフが接点における等しい微分係数を持つ」ことが、グラフの座標変換によって変わってしまう、ことが有り得ます。
そのようにおかしな事が起きても、それは、合成関数の微分の公式が間違っているわけでは無く、それは微分の本質的な問題であると正しく認識して下さい。
合成関数の微分の公式が成り立つ範囲では、その様なおかしな事は起きません。そのため、合成関数の微分の公式の適用範囲が、すなわち、おかしな事が起きない、計算の秩序が守られる範囲を定めているとも言えます。
その現象が起きたとき、合成関数の微分の公式の前提条件である「微分可能」が成り立っていないので、合成関数の微分の公式の適用範囲の外で、そういう不思議な事がおこります。
（注意１）
以下の２つのグラフが、ｘ＝０で微分係数が等しいです。
ｘのｔによる関数を以下の式で定義してみます。
ｘ＝０の場合に、（ｄｘ／ｄｔ）の値が有限で無いので、
ｘがｔで微分可能ではありません。
そのため、合成関数の微分の公式の適用外になります。
ｘ＝０の場合に、合成関数の微分の公式は０に無限大を掛け算する計算になっています。
ｘ＝０で、両関数の微分係数が同じであっても、
その場合に合成関数の微分の公式が適用できないので、
ｘ＝０で、両関数の微分係数（ｄｙ／ｄｔ）は、
合成関数の微分の公式は両関数の微分係数が等しくなることを保証しているわけではありません。
（合成関数の微分の公式から受ける印象が私たちを裏切っています）
一方、ｘ＝０で、これらの合成関数は、上図のグラフのようにしっかり定義されていて、ｘ＝０においても微分係数が定義できています。
そして、ｘ＝０で、両関数の微分係数（ｄｙ／ｄｔ）が異なっています。
なお、ある変数の値において公式が適用できない関数を含む場合の合成関数の微分の公式は、
公式の適用条件の「各関数の微分可能性」が守られている変数の値の範囲内ならば、その値がどの値の場合においても成り立っています。
例えば、変数ｘが以下の図の関数で変数ｔに変換される場合：
この関数によって、先のＸＹ平面上でｘ＝０の点で接する２つのグラフは、ｔＹ平面上に写像したグラフにおいても、グラフが共通の点を持つｔ＝－１の位置において、２つのグラフは同じ微分係数（ｄｙ／ｄｔ）を持ち、その点で接しています。
（注意２）
以下の曲線と直線が、ｘ＝１の点で接しています。
このグラフの座標系を以下の様に変換していきます。
ｄｚ／ｄｘは、各グラフ毎の、ｚを与える関数（ｚ＝ｆ（ｘ）やｚ＝ｐ（ｘ））を変数ｘで微分することを表しています。
そのため、グラフ毎に異なる２つの式の、ｄｚ／ｄｘ＝ｆ’（ｘ）と、ｄｚ／ｄｘ＝ｐ’（ｘ）の式があります。
ここで、以下のグラフの関数で、変数ｘを変数ｔに変換します。
この折れ線の折れ点では微分が不可能です。
合成関数の微分の計算では、その点でｄｓ／ｄｔが有限な値では無いので、その点では合成関数の微分の公式が適用できません。
そして、折れ線では、折れ点で微分係数が存在しません。
（そもそも、折れ線の左右の微分係数がー１と１という異なる微分係数の値を持っていますので、折れ点では微分係数が定まりません）
折れ点で折れ線とｚ＝０の直線（微分係数ｄｚ／ｄｔ＝０）とが接触していますが、折れ点の微分係数がそれと同じであるとは言えません。
この例では、当初は接触点において微分係数が等しかった２つのグラフが、座標系を変換して形を変えた２つのグラフに変換すると、その接触点で、微分係数が異なるグラフに変わりました。
（合成関数の微分の公式の本質）
合成関数の微分の公式の本質は、
（１）上の式の関係は通常は成り立っているものと考えるが、
（２）その式が成り立たない場合があることを、合成関数の微分の公式が示している。
その問題を生じる必要条件は、上式の各微分係数要素（導関数要素と呼ぶ）の中に、微分可能で無いものがあること（有限の値に確定した微分係数を持たない）
（問題を生じない十分条件は、全ての導関数要素が微分可能であること）
であることを、合成関数の微分の公式が教えている、
と考えた方が良いと思います。
例えば、変数ｘで表される２つの関数ｙ1とｙ2があって、
変数ｘのある値ｘ0における、２つの関数ｙ1とｙ2のｘによる微分係数が、
このとき、他の変数ｔで微分した場合に、
これが、合成関数の微分の公式の本質ではないかと考えます。
なお、
その理由は、その他の導関数要素のｄｘ／ｄｔがｘ＝ｘ0で無限大になれば、元の導関数要素のｄｙ／ｄｘがｘ＝ｘ0で０であることの影響が打ち消されるからである。
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