2011年4月27日水曜日

三角関数の合成の公式

【三角関数の合成の公式】
すなわち、以下の式:
の変形の公式は、加法定理の一種です。
この式の係数:
とあらわせます。
そして、式1は以下の式に変形できます。
この式はsinの加法定理であるので、以下の式になります。
このように、a・sinθ+b・cosθは、1つのsinにまとめることができます。

(a・sinθ+b・cosθ)はベクトルの回転をあらわす式
 ベクトル(X,Y)が既にX座標軸から角度アルファで回転していた場合に、それよりも更にθ回転したベクトル(X’,Y’)を考える。そのベクトルの成分X’とY’以下の式6と7であらわせます。
式7は、もともと角度α回転していたベクトル(X,Y)が更に角度θ回転したベクトル(X’,Y’)と単位ベクトル(0,1)との内積です。
そのため、式1は式7と(全体にかかる係数だけ違う)同じ式であり、式7のsin(α+θ)と(全体にかかる係数だけ違う)同じ式です。
式1の各係数aとbは、
式7のcos(α)とsin(α)と式2と式3で対応させることができます。
式1は、式7のsin(α+θ)に係数を掛け算した以下の式であらわせます。
 

【問1】
xの関数f(x)の0≦x≦(2π)における最大値,最小値を求めよ。

【解答】
倍角の公式より
なお、
-π/4≦2x-(π/4)≦8π-(π/4)
-π/4≦2x-(π/4)≦7π+(3π/4)

この角度の範囲で、この三角関数が単位円を1回転以上回転できる。
∴ -2√2-1≦f(x)≦2√2-1

(解答おわり)

【問2】(蛇足問題:大学レベルの問題)
複素数係数の三角関数の合成はどうしたら良いか。
以下の式:
は、どのように整理して表したら良いか。

【解答】
この問題は、大学レベルの問題であって、オイラーの定理を使って式を整理します。
オイラーの定理によって以下の関係が成り立ちます。
オイラーの定理を使うことで、問題の式が以下の式に変形・整理できます。
 (解答おわり)

(補足)
 以上の解答の様に、複素数係数の三角関数の和を整理した式は、上の解答のようなexp()関数による表現も必要です。この表現の式は、どのように変形しようとしてもsin又はcosの単独の関数では表す事ができません。
 
 更に、以下の問題も解いてみます。

【問題3】(蛇足問題:大学レベルの問題)
以下の式:
は 、どの様に整理したら良いか。

【解答】 
オイラーの定理を使うことで、問題の式が以下の式に変形・整理できます。
(解答おわり)

(補足)
 以上の解答の様に、複素数係数の三角関数の和を整理した式は、上の解答のように、sin又はcosの関数と、exp()関数との和で表した式に整理できます。
そして、この式は、これ以上単純な形に整理することはできませんこの式は、複素数係数の三角関数の和を整理するときの一般的な形の式です。

リンク:
ベクトルの回転変換と三角関数の加法定理
高校数学の目次

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