佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
ｓ＝ｗ・ｚ
というように、複素数ｗに複素数ｚを掛け算して複素数ｓを計算する場合を考えます。
上図で ｅ はネイピア数です。
また、 ｅ の虚数乗がcosとｉ・ｓｉｎで表される公式はオイラーの公式と呼ばれている、とても便利な公式です。
（複素数の極形式のパラメータの定義）
複素数平面で複素数ｚが、０と１を結ぶ線分（実軸）から、０を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
その角度θを偏角と呼び、
θ＝ａｒｇ（ｚ）とあらわします（左回りを正の角度にします）。
また、複素数ｚの絶対値は|ｚ|とあらわします。
先ず、各複素数の偏角を以下のように名づけておきます。
ａｒｇ（ｓ）≡α
ａｒｇ（ｗ）≡β
ａｒｇ（ｚ）≡θ
これらを使って各複素数が以下のようにあらわせます（複素数の極形式での表示）。
ｓ＝|ｓ|ｃｏｓ（α）＋|ｓ|ｓｉｎ（α）・ｉ
ｗ＝|ｗ|ｃｏｓ（β）＋|ｗ|ｓｉｎ（β）・ｉ
ｚ＝|ｚ|ｃｏｓ（θ）＋|ｚ|ｓｉｎ（θ）・ｉ
その複素数の掛け算ｓ＝ｗ・ｚの場合には、以下の公式が成り立ちます。
ａｒｇ（ｓ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|
上の２つの式を書きかえると以下の式になります。
α＝β＋θ （式１）
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ| （式２）
佐藤の数学教科書では、三角関数の加法定理を使って、（式１）が成り立つことを説明しています。
つまり、（式１）の公式は三角関数の加法定理と深い関係があります。
それで、上の（式１）を利用すると、三角関数の加法定理が以下のようにして簡単に導き出せるので三角関数の加法定理が覚えやすくなります。
ただし、複素数平面の計算によって三角関数の加法定理が導き出せはしても、それは加法定理の証明にはなりません。複素数平面の計算の礎（いしずえ）を加法定理が支えているからです。一方で、ベクトルの内積の計算から三角関数の加法定理を導き出すことができ、それは加法定理の証明になっています。
以下で、複素数ｗとｚの掛け算を計算して、その結果を複素数ｓと比較します。
ここで、加法定理との関係を分かり易くするため、複素数ｗとｚの絶対値の
|ｗ|＝|ｚ|＝|ｓ|＝１
とする。
複素数ｗ・ｚと、それに等しい複素数ｓとは、その実数部分が等しいので、その関係をあらわす１つの式を導き、更に、その虚数部分が等しいので、その関係をあらわす１つの式を導きます。それにより、以下の２つの関係式が導き出せます。
角αについて（式１）の関係があるので、それを代入して上の２つの式を書き直します。
上の式６がｃｏｓの加法定理であり、式７がｓｉｎの加法定理です。
ｃｏｓの加法定理とｓｉｎの加法定理を、以上の手順で素早く導き出せるように、以上の導き方を覚えておきましょう。
そうすれば、覚えるのにとても苦労する三角関数の加法定理が、覚えやすくなります。
【複素数平面の礎（いしずえ）の再構築】
複素数平面の計算の礎を、加法定理を用いずに構築します。そうすることで、複素数平面の計算を用いて加法定理を導き出すことが可能になります。以下では、加法定理を用いずに複素数平面の計算の礎を再構築します。
ｓ＝ｗ・ｚ
というように、複素数ｗに複素数ｚを掛け算して複素数ｓを計算する場合、
複素数平面で複素数ｚが、０と１を結ぶ線分（実軸）から、０を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
その角度θを偏角と呼び、θ＝ａｒｇ（ｚ）とあらわします（左回りを正の角度にします）。
また、複素数ｚの絶対値を|ｚ|とあらわします。
その複素数の掛け算については、以下の公式が成り立ちます。
ａｒｇ（ｓ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|
以下で、これが成り立つ根拠を、加法定理を用いずに示します。
《例１》
上図のように、
複素数 ｗ＝１＋ｉ
に、実数３／２を掛け算すると、
複素数ｗは、実軸と成す角度が変わらない。長さ（絶対値）は３／２倍になる。
《例２》
上図のように、ｗ＝１に虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果ｓ＝ｉになり、
数Ｗ＝１と原点０を結ぶ線が左回りに９０度回転する。
上図のように、ｗ＝ｉに虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果ｓ＝－１になり、
数Ｗ＝ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転する。
《例３ ｗ＝１＋ｉの場合》 ｗを更に変えて考える。
上図のように、ｗ＝１＋ｉに虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果ｓ＝－１＋ｉになり、
数Ｗ＝１＋ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転する。
《例４ ｗ＝（１＋３ｉ）／２の場合》
上図のように、ｗ＝（１＋３ｉ）／２に虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果Ｗｉ＝S＝－（３／２）＋（１／２）ｉになり、
複素数Ｗ＝（１／２）＋（３／２）ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転する。
【重要なポイント】
複素数Ｗが何であっても、それにｉを掛け算した複素数は、複素数Ｗよりも偏角が９０°回転する。その理由は、複素数Ｗのベクトルの実数成分も、虚数成分も、同じく９０°回転した成分に変換されるからである。
【視点を変えて考える】
虚数ｉに複素数Ｗを掛け算した複素数は、虚数ｉの偏角の90°よりも複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換される。そして、実数１に複素数Ｗを掛け算した複素数は、実数１の偏角の0°よりも複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換される。そのため、どの複素数Ｚの実数成分も虚数成分も、同じく複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換される。
そのため、その実数成分と虚数成分を合成して構成される複素数Ｚも、複素数Ｗを掛け算すると、その複素数Ｚ自体が複素数Ｗの偏角だけ回転する。
ゆえに、複素数Ｚに複素数Ｗを掛け算した複素数は、複素数Ｚの偏角と複素数Ｗの偏角の和の偏角を持つ。
《以上の議論によって、複素数平面の礎が、加法定理を用いずに再構築された》
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ｓ＝ｗ・ｚ
というように、複素数ｗに複素数ｚを掛け算して複素数ｓを計算する場合を考えます。
また、 ｅ の虚数乗がcosとｉ・ｓｉｎで表される公式はオイラーの公式と呼ばれている、とても便利な公式です。
（複素数の極形式のパラメータの定義）
複素数平面で複素数ｚが、０と１を結ぶ線分（実軸）から、０を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
その角度θを偏角と呼び、
θ＝ａｒｇ（ｚ）とあらわします（左回りを正の角度にします）。
また、複素数ｚの絶対値は|ｚ|とあらわします。
先ず、各複素数の偏角を以下のように名づけておきます。
ａｒｇ（ｓ）≡α
ａｒｇ（ｗ）≡β
ａｒｇ（ｚ）≡θ
これらを使って各複素数が以下のようにあらわせます（複素数の極形式での表示）。
ｓ＝|ｓ|ｃｏｓ（α）＋|ｓ|ｓｉｎ（α）・ｉ
ｗ＝|ｗ|ｃｏｓ（β）＋|ｗ|ｓｉｎ（β）・ｉ
ｚ＝|ｚ|ｃｏｓ（θ）＋|ｚ|ｓｉｎ（θ）・ｉ
その複素数の掛け算ｓ＝ｗ・ｚの場合には、以下の公式が成り立ちます。
ａｒｇ（ｓ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|
上の２つの式を書きかえると以下の式になります。
α＝β＋θ （式１）
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ| （式２）
佐藤の数学教科書では、三角関数の加法定理を使って、（式１）が成り立つことを説明しています。
つまり、（式１）の公式は三角関数の加法定理と深い関係があります。
それで、上の（式１）を利用すると、三角関数の加法定理が以下のようにして簡単に導き出せるので三角関数の加法定理が覚えやすくなります。
ただし、複素数平面の計算によって三角関数の加法定理が導き出せはしても、それは加法定理の証明にはなりません。複素数平面の計算の礎（いしずえ）を加法定理が支えているからです。一方で、ベクトルの内積の計算から三角関数の加法定理を導き出すことができ、それは加法定理の証明になっています。
以下で、複素数ｗとｚの掛け算を計算して、その結果を複素数ｓと比較します。
ここで、加法定理との関係を分かり易くするため、複素数ｗとｚの絶対値の
|ｗ|＝|ｚ|＝|ｓ|＝１
とする。
複素数ｗ・ｚと、それに等しい複素数ｓとは、その実数部分が等しいので、その関係をあらわす１つの式を導き、更に、その虚数部分が等しいので、その関係をあらわす１つの式を導きます。それにより、以下の２つの関係式が導き出せます。
ｃｏｓの加法定理とｓｉｎの加法定理を、以上の手順で素早く導き出せるように、以上の導き方を覚えておきましょう。
そうすれば、覚えるのにとても苦労する三角関数の加法定理が、覚えやすくなります。
【複素数平面の礎（いしずえ）の再構築】
複素数平面の計算の礎を、加法定理を用いずに構築します。そうすることで、複素数平面の計算を用いて加法定理を導き出すことが可能になります。以下では、加法定理を用いずに複素数平面の計算の礎を再構築します。
ｓ＝ｗ・ｚ
というように、複素数ｗに複素数ｚを掛け算して複素数ｓを計算する場合、
複素数平面で複素数ｚが、０と１を結ぶ線分（実軸）から、０を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
その角度θを偏角と呼び、θ＝ａｒｇ（ｚ）とあらわします（左回りを正の角度にします）。
また、複素数ｚの絶対値を|ｚ|とあらわします。
その複素数の掛け算については、以下の公式が成り立ちます。
ａｒｇ（ｓ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|
以下で、これが成り立つ根拠を、加法定理を用いずに示します。
《例１》
複素数 ｗ＝１＋ｉ
に、実数３／２を掛け算すると、
複素数ｗは、実軸と成す角度が変わらない。長さ（絶対値）は３／２倍になる。
《例２》
掛け算の結果ｓ＝ｉになり、
数Ｗ＝１と原点０を結ぶ線が左回りに９０度回転する。
掛け算の結果ｓ＝－１になり、
数Ｗ＝ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転する。
《例３ ｗ＝１＋ｉの場合》 ｗを更に変えて考える。
掛け算の結果ｓ＝－１＋ｉになり、
数Ｗ＝１＋ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転する。
《例４ ｗ＝（１＋３ｉ）／２の場合》
掛け算の結果Ｗｉ＝S＝－（３／２）＋（１／２）ｉになり、
複素数Ｗ＝（１／２）＋（３／２）ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転する。
【重要なポイント】
複素数Ｗが何であっても、それにｉを掛け算した複素数は、複素数Ｗよりも偏角が９０°回転する。その理由は、複素数Ｗのベクトルの実数成分も、虚数成分も、同じく９０°回転した成分に変換されるからである。
【視点を変えて考える】
虚数ｉに複素数Ｗを掛け算した複素数は、虚数ｉの偏角の90°よりも複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換される。そして、実数１に複素数Ｗを掛け算した複素数は、実数１の偏角の0°よりも複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換される。そのため、どの複素数Ｚの実数成分も虚数成分も、同じく複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換される。
そのため、その実数成分と虚数成分を合成して構成される複素数Ｚも、複素数Ｗを掛け算すると、その複素数Ｚ自体が複素数Ｗの偏角だけ回転する。
ゆえに、複素数Ｚに複素数Ｗを掛け算した複素数は、複素数Ｚの偏角と複素数Ｗの偏角の和の偏角を持つ。
《以上の議論によって、複素数平面の礎が、加法定理を用いずに再構築された》
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