円の外の点Ａから引いた円への接線の接点の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法

【問】座標原点Ｏを中心にする半径１の円（ｘ^２＋ｙ^２＝１）に対して、点Ａ（ａ_１，ａ_２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの位置ベクトルを求めよ。

（点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の点Ａの様に、点の名前Ａを引き継いだ記号ａ等に添え字を付けてａ_１等とあらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです） 

 　以下で、この解の探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、以下をクリックした先のページに書きます。
（１）一番簡単な解き方。
（２）少し込み入った解き方。

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三角形の垂心の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法

【問】三角形の垂心Ｏの位置ベクトルをもとめよ。

　以下で、この解の探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

　この問題の解き方は、以下をクリックした先のページに書きます。
　ＸＹ座標系のグラフを使って三角形の垂心を求めることが解き易いのに、それをベクトル方程式を使って解くと、解きにくいことがあることに気づきます。ベクトルの問題を解くときの基準ベクトルの組の選定が良くないと問題が解きにくくなります。適切な基準ベクトルを使って問題を解けば、問題が解き易くなります。
　このため、適切な基準ベクトルを選んで問題を解くことで問題が解き易くなる体験をして欲しいと思います。

（１）一番簡単な解き方。
（２）少し込み入った解き方。
　　（垂心を頂点の位置ベクトルで表す解もあり）

（３）もっと込み入った解き方。
（４）問題を解くために使うベクトルをどれにしたら良いかの指針を得る方法。

（５）垂直線の方程式を使った解き方。
（６）相似な図形を使った解き方。

【問１b】
　三角形ＡOCの垂心Ｄの位置ベクトルを、ベクトルOAとＯCと、それに垂直なベクトルであらわせ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

【問２】
　原点Ｏを中心にした半径Rの円がある。その円上の３点Ａ，Ｂ，Ｃが作る三角形の垂心の位置ベクトルＨを求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。（パラドックスの話もあります）。

(参考問題)「外心を原点にした場合の垂心の位置ベクトル」


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三角形の外接円の中心の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法

【問１】 三角形の外心（外接円の中心）Ｏの位置ベクトルをもとめよ。

　以下で、この解の探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、以下をクリックした先のページに書きます。 　この問題の解き方は、以下をクリックした先のページに書きます。
　ＸＹ座標系のグラフを使って三角形の外心を求めることが解き易いのに、それをベクトル方程式を使って解くと、解きにくいことがあることに気づきます。ベクトルの問題を解くときの基準ベクトルの組の選定が良くないと問題が解きにくくなります。適切な基準ベクトルを使って問題を解けば、問題が解き易くなります。
　このため、適切な基準ベクトルを選んで問題を解くことで問題が解き易くなる体験をして欲しいと思います。

（１）外心Ｏを原点にした基準ベクトルを使って解く証明
（２）解を探索する一番簡単な解き方。
　結論「三角形の外心を、直交した基準ベクトルを使って導く」
（３）少し込み入った解き方。
（４）もう少し込み入った解き方。「種々の式」

（５）垂直線の方程式を使う解き方が簡単。
（６）正弦定理を使う解き方 
（７）裏正弦定理 
（８）三角形の高さベクトルｈの公式

【問２】
　頂点Bが原点Oにある三角形ＡBCの外心Pの位置ベクトルPを、位置ベクトルAとCと、その位置ベクトルに垂直なベクトルであらわせ。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

《重要ポイント》
　三角形の外心の位置ベクトルを表現するために、各ベクトルの存在に伴って、そのベクトルに垂直なベクトルが同時に存在するものと認識することが大切である（その垂直ベクトルは計算で導き出す以前に既に、簡単な式で定義されているものと認識する）。このベクトルとそれに垂直なベクトルとのベクトルの対は、以下の、【一番簡単な解き方の秘訣】の（１）での、互いに垂直な単位ベクトルｘとｙとのベクトル対に対応する。このようなベクトルとそれに垂直なベクトルとの対を使うと、ベクトル方程式を使ってスムーズに外心の位置ベクトルが計算できる。

【一番簡単な解き方の秘訣】
（１）各ベクトルを、互いに垂直な単位ベクトルｘとｙの合成であらわして（ただし、ベクトルｘは三角形の所定の辺の方向に平行。ベクトルｙはその辺に垂直な方向を向く）、
（２）そして、あるベクトルｍとｃが垂直である条件として内積が０であるというベクトル方程式を作って計算する。


【研究課題】
外接円から三角形の頂点までの距離が等しいという条件を使って外接円の中心の位置ベクトルを求めてみます。

式７と式８をベクトルであらわすため、以下の垂直ベクトルを定義する。

（解答おわり）

（この研究の結果の意味すること）
　三角形の外心の位置ベクトルを表現するために、各ベクトルの存在に伴って、そのベクトルに垂直なベクトルが同時に存在するものと認識することが大切である。「三角形の外心の高さ」のページの【問１】の（解答３）でも説明するように、この問２のように垂直なベクトルを使うと、ベクトル方程式を使ってスムーズに外心の位置ベクトルの解が求められる。

　複素数平面を使うと、ベクトル方程式によって外心の位置ベクトルが簡単に計算できる。

【研究その２】

この図を使って外心の位置ベクトルを表す方法は、複素数平面を使う事が効果的です。

【研究その３】

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三角形の高さベクトルｈの公式

三角形の面積を３辺から計算する公式を初めて学ぶ方法

【問】⊿ＡＢＣの面積Ｓを⊿ＡＢＣの３辺ａ，ｂ，ｃから計算する公式を求めよ。

　以下で、この公式の探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、
ここをクリックした先のページに書きます。

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三角形の面積（二辺侠角）
三角形の面積と外接円の半径
三角形の面積と内接円の半径
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
高校数学［三角比・平面図形］一覧
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三角形の面積を外接円の半径を使って求める公式を初めて学ぶ方法

【問】⊿ＡＢＣの面積Ｓを⊿ＡＢＣの３辺ａ，ｂ，ｃと⊿ＡＢＣの外接円の半径Ｒであらわす公式を求めよ。

　この問題の公式を初めて学ぶときは、その公式が見せられて、その公式を証明しなさいという問題に出会うという出会い方が多いと思います。しかし、公式という答えを見てしまったら、数学を自分で学ぶという面白さが半減してしまいます。
　そのため、この公式に出会った場合、その公式の最低限の条件の（⊿ＡＢＣの面積を３辺ａ，ｂ，ｃと外接円の半径Ｒであらわせる）というヒントだけを意識して、その公式を自力で探し出すようにしましょう。

　以下で、その探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、
ここをクリックした先のページに書きます。

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三角形の面積（二辺侠角）
三角形の面積と内接円の半径
三角形の面積を三辺から求める公式
リンク：正弦定理
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
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