2017年2月10日金曜日

ペル方程式だけでは解けない不定方程式(難問)

【問】(ペル方程式だけでは解けない難問)
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。


【解答】

ここで、この式2の項の整数12による剰余を考える。
この式3を式2に代入して、以下の式4を得る。
ここで、新たに導入したs,tとx,yの関係を、以下のようにして整理する。
先ず、式3’の不定方程式を解く。

また、式5に式8を代入して式9を得る。

ここで、このペル方程式4を、以下の簡単なペル方程式10にした方が解き易いので、それで解く。
後で適切な解を選別することにする。
上の式12でペル方程式の基底の解を得て、式13で第1の解を得た。これを使って、以下のようにしてペル方程式を解く。
式16の漸化式を得た。
この漸化式を使って、解を求める。
その解から、式9(それを遡った式5)から得る以下の式17を満足する解を抽出する。

この式17の関係を満足する解を抽出する。先ず、基底の解から、以下の解が選別できる。
第1の解からは、以下の通り、適切な解が抽出できない。
 第2の解からは、適切な解が抽出できる。
 
以下は、同様にして、偶数番目の解からは、適切な解が抽出でき、奇数番目の解には適切な解が無い。
そのため、適切な解(偶数番目の解)を求める漸化式を以下の様にして作ることができる。
この式26で得た解のsを式5に代入してyを求める。
そのyと、u/2=tを式3に代入してxを求める。

xが整数になる解は(S12,u12) になって初めて現われるように思ったが、その値が大きいので、それは計算誤差だと考える。

なぜならば、
式8(更に遡り式3)に従ってyは奇数にならなければならない。
しかし、式26の漸化式によると、
(49=12×4+1
と置き換えて計算すると)
=-(12×4+1)
=-(12×4+1)+120C
=-(12×4+1)+120C
・・・
2n=-(12×4+1)+120C2n
になる。
(ここでCやC等は、ある整数である。)
そのため、yは、
y=(1+S2n)/12
=(1-(12×4)・・-n・(12×4)-1+120C2n)/12
= - 4(12×4)n-1-・・・・-n・(4)+10C2n
になり、
yは偶数になってしまう。

漸化式によってyが偶数と計算されるので、式3によってyが奇数でなければならないことと矛盾する。
そのため、式1は整数解を持つことができない。
(解答おわり)

リンク:
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9 件のコメント:


  1. https://www.youtube.com/watch?v=GuHIw_16ZIA

    >探しものは何ですか? <--------- 「整数解達です」
    >見つけにくいものですか? <-------「ハイ とても...」

    >カバンの中も つくえの中も探したけれど見つからないのに まだまだ探す気ですか? それより僕と踊りませんか? 夢の中へ 夢の中へ行ってみたいと思いませんか? 休む事も許されず笑う事は止められて はいつくばっ

    ● 2次曲線上の格子点問題は 卒業 されましたか ?^(2017)

      ● そうでない方も お次は2+1次曲線上の格子点問題を どうぞ;

    c1;3 x^3-17 x^2 y+9 x^2+9 x y^2-54 x y-12 x+5 y^3-19 y^2-4 y+1080=0
        上の 流行りの 整数解を 求めてください;

    c2; 3 x^3-17 x^2 y+16 x^2+9 x y^2-96 x y+9 x+5 y^3+16 y^2-137 y-28=0
    上の 流行りの 整数解を 求めてください;



    c1 の 双対曲線 c1^★を求め


    c1^★∩Z^2 を 求めて下さい;


    >見つけにくいものですか? <-------「ハイ 人類が不可能なのも 
         容易に 誰でも 提起 叶います...」

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  2. 「任意の実数xに対して
    (x - p/q)^2 + (y - 1/(2*q^2))^2≦(1/(2*q^2))^2
    を成り立たせる整数 p,qが存在する」
    なる条件を満たす実数yをすべて求めよ。
    をお願いします。

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    返信
    1. 式の変形の過程で
      qx-p
      という項が出てくると思いますが、
      整数p、qを選べば、これを1より十分小さくできることを証明できれば、
      問題がほとんど解けると思います。
      これは証明できるでしょうか。

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    2. qx-p=0.5-Δ
      (Δ<0.5/2)
      の場合に、
      2qx-2p-1=-2Δ
      2qx-2p-1=-0.5+δ
      (δ<0.5/2)
      4qx-4p-2+1=2δ
      4qx-4p-2+1=0.5-Δ2
      ・・・
      となる場合が有り得る。
      xの値によっては、
      p、qをどれだけ大きくして調整していっても、
      永遠に、0.5程度の大きさの誤差が残るという場合が有り得ると考えますが、どうでしょうか。

      削除
    3. 上の事例は、
      qx-p=0.25
      に収束する場合なので、
      4qx-4p-1=0
      とできそうに思います。
      もっと良く考えると、
      qx-pの絶対値<<1
      とできることが証明できるかもしれない。

      削除
  3. 先ほど 「訓練 鍛錬...」 なる 指令が 下された ;

    計算訓練 投稿者:GAI 投稿日:2017年 2月15日(水)09時47分31秒

    関数y=f(x)上に異なる3点A,B,Cがあるとき、△ABCの外心の座標を
    次のf(x)に対してそれぞれ求めると何になるか?
    ただしA,B,Cのx座標をそれぞれa,b,cとする。
    (1)f(x)=x^2
    (2)f(x)=1/x

    https://www.google.co.jp/search?q=%E9%98%B2%E7%A9%BA%E8%A8%93%E7%B7%B4%E3%81%A7%E3%83%90%E3%82%B1%E3%83%84%E3%83%AA%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%84%E7%AB%B9%E6%A7%8D%E8%A8%93%E7%B7%B4%E3%81%AB%E3%81%A8%E3%81%82%E3%81%91%E3%81%8F%E3%82%8C%E3%82%8B&hl=ja&rlz=1T4GGNI_ja___JP534&biw=1536&bih=615&tbm=isch&source=lnms&sa=X&ved=0ahUKEwiJwqCwrZHSAhVGm5QKHX9NCNYQ_AUIBigB#hl=ja&tbm=isch&q=%E9%98%B2%E7%A9%BA%E8%A8%93%E7%B7%B4+++%E3%83%90%E3%82%B1%E3%83%84%E3%83%AA%E3%83%AC%E3%83%BC++%E7%AB%B9%E6%A7%8D%E8%A8%93%E7%B7%B4

    https://www.youtube.com/watch?v=_9ommnWT79c

    (1) (1,1),(2,4),(3,9) なる とき; 左 ↓ ;

    https://www.youtube.com/watch?v=K81Ttnw3Mt0
    https://www.youtube.com/watch?v=57HK2YqJ-ow

    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/148713648646488868179.gif

    {{-3, 9}, {-1, 1}, {4, 16}}なる とき ; 右 ↑。


    イロイロ y=x^2 上に 3点を 定め 獲た 各円 c[j] の 双対曲線 c[j]^★を

                多様な発想で 求め ;


    その 君の名は 「_____」<---- 根拠付して.


    ● c[j]^★上の 流行りの 整数解をすべて 導出法を 明記し 求めてください:


    j∈{1,2,3,.......,2017,........}

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  4. 先ほど 「訓練 鍛錬...」 なる 指令が 下された ;

    計算訓練 投稿者:GAI 投稿日:2017年 2月15日(水)09時47分31秒

    関数y=f(x)上に異なる3点A,B,Cがあるとき、△ABCの外心の座標を
    次のf(x)に対してそれぞれ求めると何になるか?
    ただしA,B,Cのx座標をそれぞれa,b,cとする。
    (1)f(x)=x^2
    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/148713648646488868179.gif

    少女 a が 異なる3点A,B,C を 定め △ABCの外接円 c を 求め

    其の 双対曲線 c^★ を 求めずには イラレナイ と 求め ↓ を 獲た と 激白した.

    https://www.youtube.com/watch?v=TFa3HIpQehM


    c^★ ; 349 x^2+1104 x y+96 x+396 y^2-92 y-4=0

    易しい 2次曲線 で あるので 主軸問題をも 解き 

    「君の名は」 と 自問し 「双曲線」 と 判明した と。

    ■ 双曲線ならば 漸近線が在るので 其れを 求めて下さい;

    ■ 双曲線 c^★ 上の 格子点 を 導出法を 明記し 全て 是非 求めて下さい;

    [[酷似の問の解決法を 飯高先生にもお願い致しましたが 未だに 願いに応えていただいておりませぬ..]]

    2/10 の思い 投稿者:iitaka 投稿日:2017年 2月11日(土)19時31分32秒

    朝日カルチャの方は、8年やってきた高校数学が終わり
    新年度から、解析概論です
    また今年頑張ってした Weilの数論が終わり<------ ■
    初等整数論2版をします<------ ■  此処に 今回お願いしたような 双曲線上の格子点理論が
                          ございますか?
    高木貞治で2つ続けます
    これも2,3年継続の予定です
    ------------------------------------------------------

    ところで 易しい円の c の 方程式は ;_____________________=0

    また A=( , )B=( , ) C=( , )を。

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  5. 『女心と秋の空』と 幼いころ しった 言葉が在る。

    【心有る】とか【心ない】とかも。

          金正男(キムジョンナム)氏が殺害された 日
         
      「訓練 鍛錬...」 なる 指令 が GAI 様より  下された ;

    計算訓練 投稿者:GAI 投稿日:2017年 2月15日(水)09時47分31秒

    関数y=f(x)上に異なる3点A,B,Cがあるとき、△ABCの 外心 の座標を
    次のf(x)に対してそれぞれ求めると何になるか?
    ただしA,B,Cのx座標をそれぞれa,b,cとする。
    (1)f(x)=x^2
    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/148713648646488868179.gif

    黒枠内に 外心の座標を 既に 記しました。
    -----------------------------------------

    ↑ は 即座に 解決済である  が


    もう少し 一般に 異なる3点 が n=2次函数(y=196/15-(4 x^2)/15)のグラフ 上に 在る とき
       
        具体的に 3点を A = {-7, 0}; B = {7, 0}; C = {2, 12} としたとき

    (垂心 重心も在るが) 円だけに 限定しても 瞬時に 5つの 円 が 産声をあげ 

    高校生が 解決してしまう 問題である ; 
       
     http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/148750027879549944178.gif 
     
      (2+3 心 は 青点, 水色点と 明記しました) 
       
    (1)  内接円 c1 を 求め 内心を明記願います;
       
       外接円 c2 を 求め 外心を明記願います;
       
       
       傍接円 c3 を求め 傍心を明記願います;
       
       傍接円 c4 を求め 傍心を明記願います;
       
       傍接円 c5 を求め 傍心を明記願います;
       
       上の 2次曲線 の 5 円は 容易で 高校生用の問です。
       
    (2) 各円 cj の 双対曲線 cj^★ を 多様な発想で求めて下さい;

       此れは ↓の 講義に 潜り込めば すぐ デキてしまいます;

      http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/005/146893112567024046180.gif
     
      先ず各円 を  斎次化(Homogenize; 同次化)して。
     
     
     
      c1^★
     
      c2^★
     
      c3^★
     
      c4^★
     
    c5^★



    日本人が 好きな 行列を 用いない発想をも 願います;





    (3) 各 cj^★∩Z^2 (格子点) を 是非 全て求めて下さい;


    -----------------------------------------------------------
     上で獲た 3つの 傍心 を 改めて A=( , ),B=( , ),C=( , ) とし 
     
     上の 問題群 (1) (2) (3) を 解いて下さい! (双対化に力点がありますので是非!)
       
       

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  6.  
      3点を A = {-7, 0}; B = {7, 0}; C = {2, 12} としたとき

    (垂心 重心も在るが) 円だけに 限定しても 瞬時に 5つの 円 が 産声をあげ 

    高校生が 解決してしまう 問題である ; 
       
     http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/148750027879549944178.gif 
     
      (2+3 心 は 青点, 水色点と 明記しました) 
       
    (1)  内接円 c1 を 求め 内心を明記願います;
       
       外接円 c2 を 求め 外心を明記願います;
       
       
       傍接円 c3 を求め 傍心を明記願います;
       
       傍接円 c4 を求め 傍心を明記願います;
       
       傍接円 c5 を求め 傍心を明記願います;
       
       上の 2次曲線 の 5 円は 容易で 高校生用の問です。
       
    (2) 各円 cj の 双対曲線 cj^★ を 多様な発想で求めて下さい;

       此れは ↓の 講義に 潜り込めば すぐ デキてしまいます;

      http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/005/146893112567024046180.gif
     
      先ず各円 を  斎次化(Homogenize; 同次化)して。
     
     
     
      c1^★
     
      c2^★
     
      c3^★
     
      c4^★
     
    c5^★



    日本人が 好きな 行列を 用いない発想をも 願います;





    (3) 各 cj^★∩Z^2 (格子点) を 是非 全て求めて下さい;


    -----------------------------------------------------------
     上で獲た 3つの 傍心 を 改めて A=( , ),B=( , ),C=( , ) とし 
     
     上の 問題群 (1) (2) (3) を 解いて下さい! (双対化に力点がありますので是非!)
     
     
        
      は もう 解決されましたか  ?
     
        右下 に obelisk2 様が 「整った 内心 外心の 公式」を 産出された;
       
        http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/148755472498953087177.gif
       
        http://www.weblio.jp/content/%E6%95%B4%E3%81%84%E3%81%BE%E3%81%97%E3%81%9F
       
           更に 3つの 傍心 の 公式を 産出され 整いました で せう。
       
       
        では 3点を A1 = {-7, 0}; B1 = {7, 0}; C1 = {2, 12} としたとき
       
        獲た 傍心の公式に 当て嵌めて 傍心 A2=( , ),B2=( , ),C2=( , )
       
        を 求め 此れの 反復繰り返し(Iteration)を 無限に 為し;
       
        An=( , ),Bn=( , ),Cn=( , ) を 定め
       
        ついでに 三角形AnBnCnの面積 Sn を 求めて 下さい;
       
       ======= さて 此処からが 真の 願いです; 是非お願い致します ======
       
     (1) 三角形AnBnCn の 内接円 の 双対曲線を 求め 其の上の格子点をすべて求めて下さい!
       
     (2) 三角形AnBnCn の 外接円 の 双対曲線を 求め 其の上の格子点をすべて求めて下さい!
       
     (3)三角形AnBnCn の 3つの傍接円 の 双対曲線達を 求め 其の上の格子点をすべて求めて下さい!
       
       
       
       
       

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