点Ａを通る直線の円への接点は図形で求めること

【問１】
　座標原点を中心にする半径１の円（ｘ^２＋ｙ^２＝１）に対して、点Ａ（ ａ，０）から引いた接線の円との接点Ｂの座標をもとめよ。

上の図で線分ＯＡの長さをａとする。

（予備知識）
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形で考えます。図形で解く方が速く解が得られるし、計算の見通しを良くするからです。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

この問題を自力で解いた後で、解答も読んでください。
参考になる解説を書きましたので。

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二角挟辺が分かっている三角形の残りの辺の長さ

【問１】 
下図の三角形ＡＢＣで角Ａと角Ｂと、その二角の間の辺ＡＢの長さが分かっているとき、辺ＢＣの長さａを求めよ。


この問題の解答はここをクリックした先にあります。

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二辺挟角から残りの角の三角比を求める

【問題１】
下図の三角形ABCの辺の長さｃとａと、その間の頂角Ｂ＝θが分かっているとき、
残りの頂角AとＣの三角比を求めよ。

【解答例】



【解答】
頂角Aの三角比は、
以下の図を使って計算できる。

（解答おわり）

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三角形の３辺から頂角の三角比を求める

「三角形の外接円の半径Rを三角形の３辺からもとめる」ページの結論：

（ただし、辺の長さａとｂとｃを入れ替えた式も同じ値になる。また、この式は更に因数分解できる。）

この式と正弦定理から、角Aのsinが以下の式で計算できます。

なお、余弦定理から、角Aのcosが以下の式で計算できます。

このcosAから、再度sinAを、以下の様に計算してみます。

（注意）ここで、点Aが辺ＢＣの下側の円弧上にある場合は、cosAは負の値になります。また、正の値のsinAを与える角度は、∠Aと、（180°－∠A）との２つの角度があります。

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三角形の２角の三角比から残りの角の三角比を求める

「三角形の垂心の図の全ての線分を三角関数の積で表す」のページから分かる事：

線分BCを見ると：
　sinA＝(sinC・cosB)＋(sinB・cosC)　（１）
線分ADを見ると：
　cosA＝(sinB・sinC)－(cosB・cosC)　（２）

このように、三角形ABCの角Bと角Cの三角比が分かっているとき、
残りの角Aの三角比が、式１と式２で求められる。

　この式１と２は、高校２年になると、三角関数の加法定理で学びます。

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