先ず、閉区間で連続な関数の最大値と最小値の定理を高校生が理解できないようにする高校数学で、学生に間違いを教えている間違いを正す必要があります。
（微分積分を使いものにする言葉について）
数学者の小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」では、微分積分を使いものになる道具にするため、数学の定理で連続関数を使うときに必ず使う形に整合させて連続関数を定義しています。すなわち、連続関数という言葉を、連結区間で１つながりに連続する関数と定義しています。
また、使いものにならなくなっている「不連続点」と言われている言葉を使わず、微分積分の概念の理解のために役立つ言葉で、連続点以外の点をあらわす「連続で無い点」という言葉を使っています。そのため、当ブログでも、小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」に従って、「不連続点」という言葉は使わず、「連続で無い点」という言葉を使います。
（不連続点の当初の定義も、連続で無い点の定義と同じでした。藤原松三郎の「微分積分学 第１巻」によると、「ｆ（ｘ）がｘ＝ξで連続でない場合に、ｘ＝ξをｆ（ｘ）の不連続点という。」と定義されていました。）
（注意）連続関数の正しい定義は、
（１）第１の定義の連続関数：
（連結した）開放された区間（ａ＜ｘ＜ｂ）で連続な関数ｆ（ｘ）。その開放区間内のどの点でも完全に連続な関数。
すなわち、両端が開放された連結区間で１つながりに連続する関数。
（２）第２の定義の連続関数：
（連結した）閉区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）で連続な関数。ａ＜ｘ＜ｂとなるどの点でもｆ（ｘ）が完全に連続。ｘ＝ａとｘ＝ｂとの端点では、片側連続である関数ｆ（ｘ）。
すなわち、端点を持つ連結区間で１つながりに連続する関数。
との２通りの定義があります。
上図の関数ｆ（ｘ）は、X＝０とX=2で不連続ですが、
その０≦ｘ≦２の区間内の部分の関数ｆ（ｘ）は、
閉区間０≦ｘ≦２で定義された連続関数です（第２の定義の連続関数）。
ーー【区間の定義】ーー
「区間」という数学用語は、変数ｘの数直線上の１つの範囲内の、実数のすき間がない１かたまりの数の集合をあらわす数学用語である。
《神奈川大学》【定義 14.2.4.】
a, b を実数とする. a 以上かつ b 以下の実数をすべて集めた集合を [a, b] と書き, これを閉区 間と呼ぶ.
a より大きくかつ b 未満の実数をすべて集めた集合を (a, b) と書き, これを開区間と呼ぶ.
----定義おわり----
ａ≦ｘ≦ｂを満足するｘの区間という表現は、ａ≦ｘ≦ｂの範囲内の全ての実数ｘという意味です。
－∞＜ｘ＜∞という区間もあります。
区間はｘの値の範囲を限定するためのａ≦ｘ≦ｂという式とは意味が異なることに注意する必要があります。
「区間」という用語は、特に重要な関数である連続関数の連続性を定義するために必要な、連続関数f(x)の変数xの集合体がいつも持っていなければならない連続性という重要な性質が「区間」という概念を用いてあらわされていると思います。
すなわち、変数ｘの「区間」の性質で大切なのは、
「区間」のなかに変数ｘの値が隙間なく存在すること。
つまり所定範囲内での隙間が無い全ての実数の集合という概念が「区間」という用語で定義されています。
（Ａ）「０≦ｘ≦２の区間の変数ｘで定義された関数f(x)がその区間の（ｘの数直線上の）各点で連続であるとき，f(x)は連続関数である」という文では、
ｆ（ｘ）は、０≦ｘ≦２の区間で１つながりに連続した関数ｆ（ｘ）として定義されます。
一方で、区間の概念を用いない定義：
（Ｂ）高校数学での、誤った連続関数の定義
「変数ｘの０≦ｘ≦２の範囲内の値で関数f(x)が定義されていて、その関数ｆ(x)が定義域の各点で連続であるとき，f(x)は連続関数である」という高校数学の連続関数の定義では、ｆ(x)は、例えば、
０＜ｘ＜１で f(x)=0, この定義域内の各点で連続。
１＜ｘ＜２で f(x)=1, この定義域内の各点で連続。
結局、０≦ｘ≦２の範囲内の全ての定義域の各点で連続という関数も連続関数ｆ(x)にされます。しかし、そのように、すき間をはさんだ２つの区間を合わせた複合区間を定義域とする関数は平均値の定理を満足しない。それは連続関数ではなく、その定義は正しい連続関数の定義ではない。
この例の様に、「区間」という用語は変数ｘの数直線上の、すき間がない１かたまりの実数の集合をあらわす。変数ｘの数直線上の「区間」では、その変数ｘの範囲内に実数のすき間があってはいけない。
区間ａ≦ｘ≦ｂが命題の中に記載されている場合は、その範囲内の全ての実数ｘについて命題を検討する必要があります。被積分関数ｆ(x)が定義されていない変数ｘの（数直線上の）点があっても、その（ｘの数直線上の）点も、その命題が検討されるべき（ｘの数直線上の）点の１つです。
【連続関数の誤った定義が問題を起こしている】
高校の教科書では「定義域」という言葉を使って、
「関数 f(x) が、定義域のすべての x の値で連続であるとき、 f(x) は連続関数である、という。」
と書かれていると思います。
（注）上の教科書の定義は誤っています。正しくは、「区間で定義された関数f(x)が区間のすべてのｘの値で連続であるとき、f(x)は連続関数である、という。」と書くべきです。
中学生のときから教わって来た「定義域」という言葉の定義が、高校以上の数学では、所定の区間を指すだけではない、区間内の数の集合の様々な部分集合を定義域にできるように変わりました。
変数ｘの数直線の中の自然数だけの集合の定義域もあります。
（注意）
「不連続点」である条件は、その不連続な値で関数値ｆ（ｘ）がある事と決められている。そのため、例えば数直線のｘ＝０の点で関数値ｆ（０）が存在しない数直線上の点を不連続点とは呼ばないようにされています。
そのように、不連続点という言葉では、変数ｘの所定区間でｆ（ｘ）が存在しないためｆ（ｘ）が連続で無い事実を表現できなくなっている。
そのため、当ブログでは、上の例の関数値ｆ(0)が定義されていないｘ＝０の点は、連続で無い点と呼び、「不連続点」という不完全な言葉は使わない事にします。
【高校数学での連続関数の定義の間違い】
高校数学で連続関数を定義域で連続な関数として定義する事の重要な第１の欠陥は、連続関数という言葉を使ってあらわされている全ての定理は、それと異なる連続関数の定義を前提にしている定理であるから、それらの定理の全てを無視すること、更に、その無視された定理を少しでも使う全ての定理を無視することを強いる事だからです。
第２の欠陥は、連続関数を定義域で連続な関数として定義する事ができても、それによって定義された「連続関数」は、何ら数学的に特徴的な関数を定義したことになっていない、数学の研究には何も役立たない無意味な定義だという欠陥があります。
【閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理】
閉区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）で連続な関数ｆ（ｘ）は、
その区間内で有限の値の最大値と最小値を持つ。
（ここまでが定理）
この定理は、誤った連続関数の定義と異なる、正しい連続関数の定義を前提にした定理です。そのため、この定理は、高校数学では無視することが強いられています。
高校数学では、
ｙ＝１／ｘは、ｘ＝０以外の、全ての定義域の点で連続なので「連続関数」と呼ばれています。
また、高校数学では、閉区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）とは、変数ｘの値の範囲を限定する式のことであるという間違いが教えられています。
その誤った知識に基づくと、
【閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理】とは、
変数ｘの範囲（ ａ≦ｘ≦ｂ）内に関数が連続である定義域を持つ連続関数ｆ（ｘ）は、
その範囲（ ａ≦ｘ≦ｂ）内で有限の値の最大値と最小値を持つ。
（ここまでが定理）
という定理と解釈されます。
この「定理」には以下の反例があります。
関数ｆ（ｘ）＝１／ｘは、
変数ｘの範囲
－１≦ｘ≦１
内に定義域（ただしｘ≠０という定義域）が存在し、
－１≦ｘ≦１
内で定義されているどの点でも連続なので、
（微分積分を使いものにする言葉について）
数学者の小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」では、微分積分を使いものになる道具にするため、数学の定理で連続関数を使うときに必ず使う形に整合させて連続関数を定義しています。すなわち、連続関数という言葉を、連結区間で１つながりに連続する関数と定義しています。
また、使いものにならなくなっている「不連続点」と言われている言葉を使わず、微分積分の概念の理解のために役立つ言葉で、連続点以外の点をあらわす「連続で無い点」という言葉を使っています。そのため、当ブログでも、小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」に従って、「不連続点」という言葉は使わず、「連続で無い点」という言葉を使います。
（不連続点の当初の定義も、連続で無い点の定義と同じでした。藤原松三郎の「微分積分学 第１巻」によると、「ｆ（ｘ）がｘ＝ξで連続でない場合に、ｘ＝ξをｆ（ｘ）の不連続点という。」と定義されていました。）
（注意）連続関数の正しい定義は、
（１）第１の定義の連続関数：
（連結した）開放された区間（ａ＜ｘ＜ｂ）で連続な関数ｆ（ｘ）。その開放区間内のどの点でも完全に連続な関数。
すなわち、両端が開放された連結区間で１つながりに連続する関数。
（２）第２の定義の連続関数：
（連結した）閉区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）で連続な関数。ａ＜ｘ＜ｂとなるどの点でもｆ（ｘ）が完全に連続。ｘ＝ａとｘ＝ｂとの端点では、片側連続である関数ｆ（ｘ）。
すなわち、端点を持つ連結区間で１つながりに連続する関数。
との２通りの定義があります。
その０≦ｘ≦２の区間内の部分の関数ｆ（ｘ）は、
閉区間０≦ｘ≦２で定義された連続関数です（第２の定義の連続関数）。
ーー【区間の定義】ーー
「区間」という数学用語は、変数ｘの数直線上の１つの範囲内の、実数のすき間がない１かたまりの数の集合をあらわす数学用語である。
《神奈川大学》【定義 14.2.4.】
a, b を実数とする. a 以上かつ b 以下の実数をすべて集めた集合を [a, b] と書き, これを閉区 間と呼ぶ.
a より大きくかつ b 未満の実数をすべて集めた集合を (a, b) と書き, これを開区間と呼ぶ.
----定義おわり----
ａ≦ｘ≦ｂを満足するｘの区間という表現は、ａ≦ｘ≦ｂの範囲内の全ての実数ｘという意味です。
－∞＜ｘ＜∞という区間もあります。
区間はｘの値の範囲を限定するためのａ≦ｘ≦ｂという式とは意味が異なることに注意する必要があります。
「区間」という用語は、特に重要な関数である連続関数の連続性を定義するために必要な、連続関数f(x)の変数xの集合体がいつも持っていなければならない連続性という重要な性質が「区間」という概念を用いてあらわされていると思います。
すなわち、変数ｘの「区間」の性質で大切なのは、
「区間」のなかに変数ｘの値が隙間なく存在すること。
つまり所定範囲内での隙間が無い全ての実数の集合という概念が「区間」という用語で定義されています。
（Ａ）「０≦ｘ≦２の区間の変数ｘで定義された関数f(x)がその区間の（ｘの数直線上の）各点で連続であるとき，f(x)は連続関数である」という文では、
ｆ（ｘ）は、０≦ｘ≦２の区間で１つながりに連続した関数ｆ（ｘ）として定義されます。
一方で、区間の概念を用いない定義：
（Ｂ）高校数学での、誤った連続関数の定義
「変数ｘの０≦ｘ≦２の範囲内の値で関数f(x)が定義されていて、その関数ｆ(x)が定義域の各点で連続であるとき，f(x)は連続関数である」という高校数学の連続関数の定義では、ｆ(x)は、例えば、
０＜ｘ＜１で f(x)=0, この定義域内の各点で連続。
１＜ｘ＜２で f(x)=1, この定義域内の各点で連続。
結局、０≦ｘ≦２の範囲内の全ての定義域の各点で連続という関数も連続関数ｆ(x)にされます。しかし、そのように、すき間をはさんだ２つの区間を合わせた複合区間を定義域とする関数は平均値の定理を満足しない。それは連続関数ではなく、その定義は正しい連続関数の定義ではない。
この例の様に、「区間」という用語は変数ｘの数直線上の、すき間がない１かたまりの実数の集合をあらわす。変数ｘの数直線上の「区間」では、その変数ｘの範囲内に実数のすき間があってはいけない。
区間ａ≦ｘ≦ｂが命題の中に記載されている場合は、その範囲内の全ての実数ｘについて命題を検討する必要があります。被積分関数ｆ(x)が定義されていない変数ｘの（数直線上の）点があっても、その（ｘの数直線上の）点も、その命題が検討されるべき（ｘの数直線上の）点の１つです。
【連続関数の誤った定義が問題を起こしている】
高校の教科書では「定義域」という言葉を使って、
「関数 f(x) が、定義域のすべての x の値で連続であるとき、 f(x) は連続関数である、という。」
と書かれていると思います。
（注）上の教科書の定義は誤っています。正しくは、「区間で定義された関数f(x)が区間のすべてのｘの値で連続であるとき、f(x)は連続関数である、という。」と書くべきです。
中学生のときから教わって来た「定義域」という言葉の定義が、高校以上の数学では、所定の区間を指すだけではない、区間内の数の集合の様々な部分集合を定義域にできるように変わりました。
変数ｘの数直線の中の自然数だけの集合の定義域もあります。
（注意）
「不連続点」である条件は、その不連続な値で関数値ｆ（ｘ）がある事と決められている。そのため、例えば数直線のｘ＝０の点で関数値ｆ（０）が存在しない数直線上の点を不連続点とは呼ばないようにされています。
そのように、不連続点という言葉では、変数ｘの所定区間でｆ（ｘ）が存在しないためｆ（ｘ）が連続で無い事実を表現できなくなっている。
そのため、当ブログでは、上の例の関数値ｆ(0)が定義されていないｘ＝０の点は、連続で無い点と呼び、「不連続点」という不完全な言葉は使わない事にします。
【高校数学での連続関数の定義の間違い】
高校数学で連続関数を定義域で連続な関数として定義する事の重要な第１の欠陥は、連続関数という言葉を使ってあらわされている全ての定理は、それと異なる連続関数の定義を前提にしている定理であるから、それらの定理の全てを無視すること、更に、その無視された定理を少しでも使う全ての定理を無視することを強いる事だからです。
第２の欠陥は、連続関数を定義域で連続な関数として定義する事ができても、それによって定義された「連続関数」は、何ら数学的に特徴的な関数を定義したことになっていない、数学の研究には何も役立たない無意味な定義だという欠陥があります。
【閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理】
閉区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）で連続な関数ｆ（ｘ）は、
その区間内で有限の値の最大値と最小値を持つ。
（ここまでが定理）
この定理は、誤った連続関数の定義と異なる、正しい連続関数の定義を前提にした定理です。そのため、この定理は、高校数学では無視することが強いられています。
高校数学では、
ｙ＝１／ｘは、ｘ＝０以外の、全ての定義域の点で連続なので「連続関数」と呼ばれています。
また、高校数学では、閉区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）とは、変数ｘの値の範囲を限定する式のことであるという間違いが教えられています。
その誤った知識に基づくと、
【閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理】とは、
変数ｘの範囲（ ａ≦ｘ≦ｂ）内に関数が連続である定義域を持つ連続関数ｆ（ｘ）は、
その範囲（ ａ≦ｘ≦ｂ）内で有限の値の最大値と最小値を持つ。
（ここまでが定理）
という定理と解釈されます。
この「定理」には以下の反例があります。
関数ｆ（ｘ）＝１／ｘは、
変数ｘの範囲
－１≦ｘ≦１
内に定義域（ただしｘ≠０という定義域）が存在し、
－１≦ｘ≦１
内で定義されているどの点でも連続なので、
連続関数です。しかし、この連続関数ｆ（ｘ）は、
ｘ→０の近くで∞と－∞に発散するので、
有限の値の最大値と最小値を持たない。
（反例おわり）
しかし、この定理の基礎となっている正しい連続関数の定義が高校数学での連続関数の定義とは違うので、これは定理の反例にはなっていません。
以下で、正しい連続関数の定義と、区間という数学用語の正しい定義に基づき、この最大値・最小値の定理を証明します。
【閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理】
閉区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）で連続な関数ｆ（ｘ）は、
その区間内で最大値と最小値を持つ。
（ここまでが定理）
この定理を正しい連続関数の定義に基づき、以下の様に言い換える事ができます。
（最大値・最小値の定理の言い換え）
連結区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）の範囲内の全ての実数ｘに対して有限の関数値ｆ（ｘ）が存在する。そして、その範囲内の全ての点で関数ｆ（ｘ）が１つながりに連続な連続関数であるものとする。
その場合は、その範囲内（ ａ≦ｘ≦ｂ）での関数の値ｆ（ｘ）の全てが、有限な値の最大値と最小値との間にある。
（定理の言い換えおわり）
この定理は、明らかなように見えますが、そう見えるのは、連続関数というものを自分の主観で限定して考えているからです。
「下図の様に、連続する線を曲げて上下に振動させるグラフを作る。
そのグラフの最大の振幅のｘ座標の半分の値のｘ座標の点を、先のグラフ最大の振幅の２倍の振幅に変形させたグラフを作る。
この作業を無限に繰り返して連続なグラフを変形させていったグラフの関数ｆ（ｘ）を作ったらどうか？」
「連続な関数のグラフを切らずに作ったグラフの関数だからｆ（ｘ）は連続関数では無いのか？そして、最大値Mが無限に大きいグラフが作れるのではないか？」
というように問われたら、
「 いや、そうなったら、それは、もはや、その無限にグラフを細かくしている点ｘ＝０で不連続になり、連続関数で無くなります。」（事実はこの通りですが）
と即答できるでしょうか。
こういう問題に論理的に（数学的に）返答できるようにするため、連続が、以下の様に数学的に定義されています。
【第１の定義の連続】
「微分積分学入門」（横田 壽）の３９ページ近くに、連続の第１の定義が書いてあります。
極限を求める点が連続で無い点であっても定義される関数の極限、
を考えるときには、
x0 での関数ｆ（x）の値ｆ（x0）が定義されている必要はありませんでした。
また，x0 での関数ｆ（x）の値 f(x0) が定義されていても、その値 f(x0) がx0 での極限値
と一致する必要もありませんでした。
そのように無制限な関数の条件に、新たに、
極限値とそこでの関数の値が等しいという条件を加えてみます。
そうすることは，以下で説明するように、
関数がある点で連続である
という条件を加えるという意味を持ちます．
【定義1.4 (連続) 】
関数f(x) は少なくとも、微小な連結区間
x0 − δ＜ｘ＜x0 + δ
の全ての点で定義されている．
（ここで、δは小さな正の実数）
が成り立つとき， f(x) はx = x0 で連続(continuous) であるという．
-----（定義の言い換え）----
この定義をハッキリ把握するために、想像力を膨らませて、この定義を、以下の様に噛み砕いて自分の言葉で言い換えて定義を覚えてください。
（なお、この定義をかみ砕いて考える考え方が、小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」の80ページから81ページに詳しく書いてあります。）
（０）
この、関数の１点での連続の定義は、関数の１点の近傍の幅を持った区間で連続を判定しています。
すなわち、関数の連続を確認する点ｘ＝ｘ0 については、その点の座標の周りに広がりを持つ区間の、少なくとも、x0 − δ＜ｘ＜x0 +δ
（ここで、δは小さな正の実数）
という連結区間の全ての実数値ｘで関数ｆ（ｘ）が定義されていることが大前提です。
「区間」と言う場合は、それは１つの連結区間であって、その区間内の全ての実数が関数の定義域である事を意味します。
（１）
次に、
ｘ0に近い（値ｘ0も含む実数）ｘを考える。
（２）
ｘ0から、正の値δの範囲内でずれる、ｘ0も含む全ての実数ｘについてｆ（ｘ）を考える。
この定義における「全ての実数ｘ」の意味は、例えば関数の変数ｘの定義域による変数ｘの値の制限も無視して、その制限に制約されずにｘ0から、正の値δの範囲内でずれる値の実数変数ｘは全て考慮することを意味します。
（３）
その全てのｆ（ｘ）の値のバラツキの誤差を求める。
その誤差＜εとする小さな正の値εでバラツキの範囲を定める。
すなわち、どの実数ｘ（ただし、ｘ＝ｘ0の場合も含む）の値の関数値ｆ（ｘ）についても、
－ε＜ （ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ0））＜ε
となる正の値εを定める。
（４）
ｘの値のｘ0からずれる範囲を定める正の値δを十分小さくすれば、
その範囲内の全ての実数値のｘ（値ｘ0も含む）によるｆ（ｘ）の値のバラツキが小さくなり、バラツキの範囲の値 ε がいくらでも小さくできるならば；
ｆ（ｘ）はｘ＝ｘ0 で極限値を持ち、かつ、その極限値がｆ（ｘ0）に等しい。
その場合に、
関数ｆ（ｘ）は、
ｘ＝ｘ0 で連続である。
すなわち、
が成り立つ場合に、関数ｆ（ｘ）はｘ＝ｘ0 で連続になります（第１の定義の連続）。
言い換えると、
「点ｘ０でｆ（ｘ）が連続である定義は、
どんなに小さい正の値εに対しても、
十分小さい正の値δを使ってｘの区間を、
x0 − δ＜ｘ＜x0 +δ （ｘ＝ｘ0となる場合も含む）
に限定すれば、どのｘの値でも、
－ε＜ （ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ0））＜ε
が成り立つようにできる事である。」
----（定義の言い換えおわり）-----------
（注意１）このε－δ論法による連続の第１の定義は、
ｘの区間の x0 − δ＜ｘ＜x0 +δ を使っていますので、その区間の全ての実数についてｆ（ｘ）の値が存在する（定義されている）事を条件にしています。そのため、以下の例の様に関数値ｆ（ｘ）が区間で定義されていない場合は、連続であるとは定義しません。
ｘ＝０，１，２だけで定義された関数ｆ（ｘ）の例：
ｆ（０）＝１０，
ｆ（１）＝１１，
ｆ（２）＝１２，
この関数ｆ（ｘ）は、
どんなに小さい正の値εに対しても、
正の値δ＝０．５を使ってｘの範囲（区間では無い）を、
１− δ＜ｘ＜１ +δ
に限定すれば、
その範囲内のｆ（ｘ）の定義域のｘの値は、ｘ＝１のみになる。
その全てのｘの値（ｘ＝１だけですが）に対して、
－ε＜ （ｆ（ｘ）－１１）＜ε
が成り立つようにできます。
ε＝１／１００００という小さなεの場合でも上の式が成り立ちます。対象となるｘはｘ＝１しか無いからです。
しかし、そうであっても、ｆ（ｘ）はｘ＝１で連続ではありません。
連続の定義では、区間
１− δ＜ｘ＜１ +δ
内の全て実数に対して、ｆ（ｘ）の値が存在する事を要請しているが、関数ｆ（ｘ）はその条件を満足しないからです。
（注意２）ここで、ε－δ論法が出て来ましたが、ε－δ論法というものは、εとδを使った極限の表現の手段であって、そのε－δ論法を使った「連続」の定義は、上の形の第１の連続の定義に限られません。
以下で説明する片側連続についても、第１の連続の定義とは形を変えた別のε－δ論法によって片側連続が定義されます。
【第２の定義の連続】
【関数が閉区間（a≦ｘ≦ｂ）で連続という定義】
閉区間（ａ≦ｘ≦ｂ）で定義された、第２の定義の連続関数ｆ（ｘ）は、多くの場面で使われます。
閉区間（a≦ｘ≦ｂ）で連続な連続関数ｆ（ｘ）と呼ばれますが、
その定義域の端点では、片側連続であり、両側からは連続していなくても閉区間で連続と定義しますので要注意です。
上図の関数ｆ（ｘ）は、X＝０とX=2で不連続ですが、
その０≦ｘ≦２の区間内の部分は、
「区間０≦ｘ≦２で定義された関数ｆ（ｘ）が区間０≦ｘ≦２で連続な連続関数である」
と言います（第２の定義の連続関数）。
（第２の定義の連続関数の端点での連続の定義）
（１）
関数ｆ（ｘ）が、閉区間ａ≦ｘ≦ｂで定義され、ａ＜ｘ＜ｂの点でｆ（ｘ）が連続であって、
（２）
閉区間の端点ｂでは：
x → ｂ− 0 またはx → ｂ− と表わす左側極限値ｆ（ｂ－）がｆ（ｂ）である左連続によって連続です。
すなわち、端点ｂでのグラフの点（ｂ，ｆ（ｂ））が左側極限の点（ｂ－，ｆ（ｂ－））と連続している（片側連続性）。
左連続の定義は、ε－δ論法によって以下の様に表現することができます。
どんなに小さい正の値εに対しても、
十分小さい正の値δを使ってｘの区間を、
ｂ－δ＜ｘ≦ｂ （ｘ＝ｂとなる場合も含む）
に限定すれば、どのｘの値でも、
－ε＜ （ｆ（ｘ）－ｆ（ｂ））＜ε
が成り立つようにできるならば閉区間の端点ｘ＝ｂで連続である。
（３）
閉区間の端点ａでは：
x → ａ＋ 0 またはx → ａ＋と表わす右側極限値ｆ（ａ＋）がｆ（ａ）である右連続によって連続です。
すなわち、端点ａでのグラフの点（ａ，ｆ（ａ））が右側極限の点（ａ＋，ｆ（ａ＋））と連続している（片側連続性）。
右連続の定義は、ε－δ論法によって以下の様に表現することができます。
どんなに小さい正の値εに対しても、
十分小さい正の値δを使ってｘの区間を、
ａ≦ｘ＜ａ＋δ （ｘ＝ａとなる場合も含む）
に限定すれば、どのｘの値でも、
－ε＜ （ｆ（ｘ）－ｆ（ａ））＜ε
が成り立つようにできるならば閉区間の端点ｘ＝ａで連続である。
そういうふうに、閉区間（a≦ｘ≦ｂ）で定義された関数ｆ（ｘ）は、その閉区間の端点ａ，ｂ間で連続な関数ｆ（ｘ）であると定義されています。
関数ｆ（ｘ）が右側極限や左側極限で区間の端点に片側連続性で連続につながっているので、そういう表現をする理由になっています。
-----第２の定義の連続関数の説明おわり-----------
最大値・最小値の定理は、最大値がある事を示せば、同様にして最小値がある事も示せるので、最大値がある事を証明するだけで十分である。
【最大値の定理の証明】最大値の定理の対偶の定理：
閉領域内で関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されない場合には、その閉領域内の少なくとも１つの点の座標ｘの関数値ｆ（ｘ）が無限大に発散し、その点ｘでは関数が不連続になる事を、以下の様にして証明することで、最大値の定理が証明できます。
上図の閉領域で、関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されないならば、その閉領域を、以下の様に半分に分割した２つの閉領域（ただし、その分割点は両側の閉領域に重複して含ませる）の少なくともどちらかの閉領域で、関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されない。
そして、その、関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されない閉領域を、更に半分に分割した２つの閉領域の少なくともどちらかの閉領域で、関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されない。
そして、その、関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されない閉領域を、更に更に半分に分割した２つの閉領域の少なくともどちらかの閉領域で、関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されない。
この操作を無限に繰り返すと、
関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されない領域が無限に小さくなっていきます。
その場合に、その領域内の点のｘ座標が、極限値ｘｇに収束する（ここをクリックした先の定理18）。
その極限値ｘｇの近くでは、
どんなに小さなδを選んでも、
xｇ − δ＜ｘ＜xｇ +δ （ただし、ｘ＝ｘgの場合を含む）
を満足する実数値ｘの領域内に、
無限に小さな領域ではあるが、関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されない領域が含まれます。
そのため、その領域の実数ｘのなかに、
関数ｆ（ｘ）の値を有限の値Mに制限しない無限に大きく発散させる点のｘがあります。
その点のｘでは、
小さなεを選んで、ある有限の値 lim に関して、
－ε＜ （ｆ（ｘ）－lim）＜ε
とすることができません。
それは、
ｘ→ｘｇ （ただし、ｘ≠ｘg）
でのｆ（ｘ）の極限値が無いか、
又は、
（ｘ≠ｘｇでの）極限値（それは有限の値Mに制限される）があっても、
ｘ＝ｘｇの場合のｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されず、
すなわち、
ｆ（ｘｇ)は、
（ｘ≠ｘｇでの）ｘ→ｘｇでのｆ（ｘ）の極限値とは異なる、
ということを意味します。
それは、
ｘ＝ｘｇでｆ（ｘ）が不連続である事を意味します。
よって、
閉領域で関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されない場合には、
その閉領域内に、
ｆ（ｘ）が不連続になる点ｘ＝ｘｇ
が存在する事を意味します。
（最大値の定理の対偶の定理の証明おわり）
（補足）
以上の証明の中で出てきた、
（ｘ≠ｘｇでは）有限の値Mに制限される極限値があっても、
ｘ＝ｘｇの場合のｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されない関数とは、
例えば、大学の数学で学ぶ、ディラックのデルタ関数というものがあります。
ディラックのデルタ関数はδ（ｘ）と表現され、
x≠０のとき: δ（ｘ）＝０
ｘ＝０のとき： δ（ｘ）＝無限大（有限の値Mに制限されない）
そして、
ｘのー１から１の範囲で定積分すると：
となる関数です。
（最大値の定理の証明のポイント）
以上の、最大値の定理の証明のポイントは、関数ｆ（ｘ）の定義される区間内の関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されない場合を詳しく調べた、定理の対偶の定理を証明した事にあります。
関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されないという事は、
（１）ｆ（ｘ）の値が有限の値Mに制限されない区間がある場合は、ｆ（ｘ）の値が制限されない区間の幅を無限に狭め、その無限に狭めた区間を少なくとも１点に収束させる極限がある事を確認した事。
（２）そして、その収束した極限の点ｘｇでは、関数ｆ（ｘ）が不連続になる事をしらべた事が、最大値の定理の証明のポイントです。
よって、この対偶が成り立ち：
閉区間で連続である関数においては、ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されないという事が無いのです。
（備考１）
なお、下図の様に、少なくとも１つの端（ｘ＝ａ）が開区間で連続な関数については、そのｘ＝ａとなる点が無限に発散する点になり得るので、ｆ（ｘ）がｘ＝ａの極限で無限に発散する場合があり得ます。
なお、学生が微分積分を無駄なく学べるよう工夫がこらされている本：小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」では、
【閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理】を、閉区間の連続関数は一様連続であり、開区間の関数は一様連続で無いという、関数の本質的な性質を使って証明しています。小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」の85ページにその証明が書いてありますので、是非、一読する事をお勧めします。
小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」で学ぶならば、微分積分が無駄なく勉強できて良いと思います。
（一様連続性と最大値・最小値の定理の関係）
こうして証明できた、閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理によって、
f(x)が連結な閉区間ａ≦ｘ≦ｂで１つながりに連続な関数であれば、ｆ(x)の値はある最大値と最小値の間の値に限られている。
その、最大値と最小値の間の値に限られている、閉区間で連続な関数ｆ（ｘ）の領域を以下の図の様に２等分する。
（ただし、二等分とは言っても、分割された領域の境界点は、それぞれの領域が共有するように分割する。）
そして、分割された領域毎に、関数の最大値と最小値の差Δを考え、全分割領域での、差Δの最大値Δ２を抽出する。
関数ｆ（ｘ）が連続関数の場合は、その差の最大値Δ２は、分割前の領域での関数の最大値と最小値の差Δ１よりも小さくなる。
更に、各領域を２等分する。
（ただし、二等分とは言っても、分割された領域の境界点は、それぞれの領域が共有するように分割する。）
そして、分割された領域毎に、関数の最大値と最小値の差Δを考え、全分割領域での、差Δの最大値Δ３を抽出する。
関数ｆ（ｘ）が連続関数の場合は、その差の最大値Δ３は、分割前の領域での差の最大値Δ２よりも小さくなる。
更に、各領域を２等分する操作を繰り返し、
差の最大値Δ４、Δ５、Δ６・・・
を求めて行く。
すると、関数ｆ（ｘ）が連続関数の場合は、領域を分割する毎に、全分割領域での差の最大値Δｎは無限に小さくなって行く。
（もし関数の最大値と最小値の差Δｎが無限に小さくならない点があったならば、その点は連続では無い点である。連続関数ｆ（ｘ）には、そのような点は無い。）
（一様連続性）
以上の様に、ある関数f(x)の各分割領域を更に２分の１に分割する操作をｎ回繰り返していき、各分割領域の関数f(x)の最大値と最小値の差（関数の値のばらつき）Δを求める。
（１）そのとき、全ての分割領域での関数の値のばらつきΔの最大値Δｎが有限の値で存在すること。
（２）この操作を繰り返して分割領域を無限に小さくすると、
全ての分割領域での関数の値のばらつきの最大値Δnが、無限に小さくなって行く。
（すなわち、全ての分割領域での関数の値のばらつきがΔnより小さく、そのΔnが無限に小さくなっていく）
これが成り立つ関数f(x)の性質を「一様連続」であると言います。
（一様連続の説明おわり）
その様に無限に小さい差Δｎは、関数ｆ（ｘ）の値の総和（リーマン積分）への影響が無限に小さいため、この関数ｆ（ｘ）は、リーマン積分が可能です。
小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」の85ページが、
【閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理】を、閉区間の連続関数は一様連続であり、開区間の関数は一様連続で無いという性質を使って証明しているのは、一様連続性が、最大値・最小値の定理が成り立つ根本的な原因であるという数学的視点が大事である事を教えたいからではないかと考えます。是非、一読をお勧めします。
リンク：
高校数学の目次
ｘ→０の近くで∞と－∞に発散するので、
有限の値の最大値と最小値を持たない。
（反例おわり）
しかし、この定理の基礎となっている正しい連続関数の定義が高校数学での連続関数の定義とは違うので、これは定理の反例にはなっていません。
以下で、正しい連続関数の定義と、区間という数学用語の正しい定義に基づき、この最大値・最小値の定理を証明します。
【閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理】
閉区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）で連続な関数ｆ（ｘ）は、
その区間内で最大値と最小値を持つ。
（ここまでが定理）
この定理を正しい連続関数の定義に基づき、以下の様に言い換える事ができます。
（最大値・最小値の定理の言い換え）
連結区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）の範囲内の全ての実数ｘに対して有限の関数値ｆ（ｘ）が存在する。そして、その範囲内の全ての点で関数ｆ（ｘ）が１つながりに連続な連続関数であるものとする。
その場合は、その範囲内（ ａ≦ｘ≦ｂ）での関数の値ｆ（ｘ）の全てが、有限な値の最大値と最小値との間にある。
（定理の言い換えおわり）
この定理は、明らかなように見えますが、そう見えるのは、連続関数というものを自分の主観で限定して考えているからです。
「下図の様に、連続する線を曲げて上下に振動させるグラフを作る。
そのグラフの最大の振幅のｘ座標の半分の値のｘ座標の点を、先のグラフ最大の振幅の２倍の振幅に変形させたグラフを作る。
この作業を無限に繰り返して連続なグラフを変形させていったグラフの関数ｆ（ｘ）を作ったらどうか？」
というように問われたら、
「 いや、そうなったら、それは、もはや、その無限にグラフを細かくしている点ｘ＝０で不連続になり、連続関数で無くなります。」（事実はこの通りですが）
と即答できるでしょうか。
こういう問題に論理的に（数学的に）返答できるようにするため、連続が、以下の様に数学的に定義されています。
【第１の定義の連続】
「微分積分学入門」（横田 壽）の３９ページ近くに、連続の第１の定義が書いてあります。
極限を求める点が連続で無い点であっても定義される関数の極限、
x0 での関数ｆ（x）の値ｆ（x0）が定義されている必要はありませんでした。
また，x0 での関数ｆ（x）の値 f(x0) が定義されていても、その値 f(x0) がx0 での極限値
そのように無制限な関数の条件に、新たに、
極限値とそこでの関数の値が等しいという条件を加えてみます。
そうすることは，以下で説明するように、
関数がある点で連続である
という条件を加えるという意味を持ちます．
【定義1.4 (連続) 】
関数f(x) は少なくとも、微小な連結区間
x0 − δ＜ｘ＜x0 + δ
の全ての点で定義されている．
（ここで、δは小さな正の実数）
-----（定義の言い換え）----
この定義をハッキリ把握するために、想像力を膨らませて、この定義を、以下の様に噛み砕いて自分の言葉で言い換えて定義を覚えてください。
（なお、この定義をかみ砕いて考える考え方が、小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」の80ページから81ページに詳しく書いてあります。）
（０）
この、関数の１点での連続の定義は、関数の１点の近傍の幅を持った区間で連続を判定しています。
すなわち、関数の連続を確認する点ｘ＝ｘ0 については、その点の座標の周りに広がりを持つ区間の、少なくとも、x0 − δ＜ｘ＜x0 +δ
（ここで、δは小さな正の実数）
という連結区間の全ての実数値ｘで関数ｆ（ｘ）が定義されていることが大前提です。
「区間」と言う場合は、それは１つの連結区間であって、その区間内の全ての実数が関数の定義域である事を意味します。
（１）
次に、
ｘ0に近い（値ｘ0も含む実数）ｘを考える。
（２）
ｘ0から、正の値δの範囲内でずれる、ｘ0も含む全ての実数ｘについてｆ（ｘ）を考える。
この定義における「全ての実数ｘ」の意味は、例えば関数の変数ｘの定義域による変数ｘの値の制限も無視して、その制限に制約されずにｘ0から、正の値δの範囲内でずれる値の実数変数ｘは全て考慮することを意味します。
（３）
その全てのｆ（ｘ）の値のバラツキの誤差を求める。
その誤差＜εとする小さな正の値εでバラツキの範囲を定める。
すなわち、どの実数ｘ（ただし、ｘ＝ｘ0の場合も含む）の値の関数値ｆ（ｘ）についても、
－ε＜ （ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ0））＜ε
となる正の値εを定める。
（４）
ｘの値のｘ0からずれる範囲を定める正の値δを十分小さくすれば、
その範囲内の全ての実数値のｘ（値ｘ0も含む）によるｆ（ｘ）の値のバラツキが小さくなり、バラツキの範囲の値 ε がいくらでも小さくできるならば；
ｆ（ｘ）はｘ＝ｘ0 で極限値を持ち、かつ、その極限値がｆ（ｘ0）に等しい。
その場合に、
関数ｆ（ｘ）は、
ｘ＝ｘ0 で連続である。
すなわち、
言い換えると、
「点ｘ０でｆ（ｘ）が連続である定義は、
どんなに小さい正の値εに対しても、
十分小さい正の値δを使ってｘの区間を、
x0 − δ＜ｘ＜x0 +δ （ｘ＝ｘ0となる場合も含む）
に限定すれば、どのｘの値でも、
－ε＜ （ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ0））＜ε
が成り立つようにできる事である。」
----（定義の言い換えおわり）-----------
（注意１）このε－δ論法による連続の第１の定義は、
ｘの区間の x0 − δ＜ｘ＜x0 +δ を使っていますので、その区間の全ての実数についてｆ（ｘ）の値が存在する（定義されている）事を条件にしています。そのため、以下の例の様に関数値ｆ（ｘ）が区間で定義されていない場合は、連続であるとは定義しません。
ｘ＝０，１，２だけで定義された関数ｆ（ｘ）の例：
ｆ（０）＝１０，
ｆ（１）＝１１，
ｆ（２）＝１２，
この関数ｆ（ｘ）は、
どんなに小さい正の値εに対しても、
正の値δ＝０．５を使ってｘの範囲（区間では無い）を、
１− δ＜ｘ＜１ +δ
に限定すれば、
その範囲内のｆ（ｘ）の定義域のｘの値は、ｘ＝１のみになる。
その全てのｘの値（ｘ＝１だけですが）に対して、
－ε＜ （ｆ（ｘ）－１１）＜ε
が成り立つようにできます。
ε＝１／１００００という小さなεの場合でも上の式が成り立ちます。対象となるｘはｘ＝１しか無いからです。
しかし、そうであっても、ｆ（ｘ）はｘ＝１で連続ではありません。
連続の定義では、区間
１− δ＜ｘ＜１ +δ
内の全て実数に対して、ｆ（ｘ）の値が存在する事を要請しているが、関数ｆ（ｘ）はその条件を満足しないからです。
（注意２）ここで、ε－δ論法が出て来ましたが、ε－δ論法というものは、εとδを使った極限の表現の手段であって、そのε－δ論法を使った「連続」の定義は、上の形の第１の連続の定義に限られません。
以下で説明する片側連続についても、第１の連続の定義とは形を変えた別のε－δ論法によって片側連続が定義されます。
【第２の定義の連続】
【関数が閉区間（a≦ｘ≦ｂ）で連続という定義】
閉区間（ａ≦ｘ≦ｂ）で定義された、第２の定義の連続関数ｆ（ｘ）は、多くの場面で使われます。
閉区間（a≦ｘ≦ｂ）で連続な連続関数ｆ（ｘ）と呼ばれますが、
その定義域の端点では、片側連続であり、両側からは連続していなくても閉区間で連続と定義しますので要注意です。
その０≦ｘ≦２の区間内の部分は、
「区間０≦ｘ≦２で定義された関数ｆ（ｘ）が区間０≦ｘ≦２で連続な連続関数である」
と言います（第２の定義の連続関数）。
（第２の定義の連続関数の端点での連続の定義）
（１）
関数ｆ（ｘ）が、閉区間ａ≦ｘ≦ｂで定義され、ａ＜ｘ＜ｂの点でｆ（ｘ）が連続であって、
（２）
閉区間の端点ｂでは：
x → ｂ− 0 またはx → ｂ− と表わす左側極限値ｆ（ｂ－）がｆ（ｂ）である左連続によって連続です。
すなわち、端点ｂでのグラフの点（ｂ，ｆ（ｂ））が左側極限の点（ｂ－，ｆ（ｂ－））と連続している（片側連続性）。
左連続の定義は、ε－δ論法によって以下の様に表現することができます。
どんなに小さい正の値εに対しても、
十分小さい正の値δを使ってｘの区間を、
ｂ－δ＜ｘ≦ｂ （ｘ＝ｂとなる場合も含む）
に限定すれば、どのｘの値でも、
－ε＜ （ｆ（ｘ）－ｆ（ｂ））＜ε
が成り立つようにできるならば閉区間の端点ｘ＝ｂで連続である。
（３）
閉区間の端点ａでは：
x → ａ＋ 0 またはx → ａ＋と表わす右側極限値ｆ（ａ＋）がｆ（ａ）である右連続によって連続です。
すなわち、端点ａでのグラフの点（ａ，ｆ（ａ））が右側極限の点（ａ＋，ｆ（ａ＋））と連続している（片側連続性）。
右連続の定義は、ε－δ論法によって以下の様に表現することができます。
どんなに小さい正の値εに対しても、
十分小さい正の値δを使ってｘの区間を、
ａ≦ｘ＜ａ＋δ （ｘ＝ａとなる場合も含む）
に限定すれば、どのｘの値でも、
－ε＜ （ｆ（ｘ）－ｆ（ａ））＜ε
が成り立つようにできるならば閉区間の端点ｘ＝ａで連続である。
そういうふうに、閉区間（a≦ｘ≦ｂ）で定義された関数ｆ（ｘ）は、その閉区間の端点ａ，ｂ間で連続な関数ｆ（ｘ）であると定義されています。
関数ｆ（ｘ）が右側極限や左側極限で区間の端点に片側連続性で連続につながっているので、そういう表現をする理由になっています。
-----第２の定義の連続関数の説明おわり-----------
最大値・最小値の定理は、最大値がある事を示せば、同様にして最小値がある事も示せるので、最大値がある事を証明するだけで十分である。
【最大値の定理の証明】最大値の定理の対偶の定理：
閉領域内で関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されない場合には、その閉領域内の少なくとも１つの点の座標ｘの関数値ｆ（ｘ）が無限大に発散し、その点ｘでは関数が不連続になる事を、以下の様にして証明することで、最大値の定理が証明できます。
関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されない領域が無限に小さくなっていきます。
その場合に、その領域内の点のｘ座標が、極限値ｘｇに収束する（ここをクリックした先の定理18）。
その極限値ｘｇの近くでは、
どんなに小さなδを選んでも、
xｇ − δ＜ｘ＜xｇ +δ （ただし、ｘ＝ｘgの場合を含む）
を満足する実数値ｘの領域内に、
無限に小さな領域ではあるが、関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されない領域が含まれます。
そのため、その領域の実数ｘのなかに、
関数ｆ（ｘ）の値を有限の値Mに制限しない無限に大きく発散させる点のｘがあります。
その点のｘでは、
小さなεを選んで、ある有限の値 lim に関して、
－ε＜ （ｆ（ｘ）－lim）＜ε
とすることができません。
それは、
ｘ→ｘｇ （ただし、ｘ≠ｘg）
でのｆ（ｘ）の極限値が無いか、
又は、
（ｘ≠ｘｇでの）極限値（それは有限の値Mに制限される）があっても、
ｘ＝ｘｇの場合のｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されず、
すなわち、
ｆ（ｘｇ)は、
（ｘ≠ｘｇでの）ｘ→ｘｇでのｆ（ｘ）の極限値とは異なる、
ということを意味します。
それは、
ｘ＝ｘｇでｆ（ｘ）が不連続である事を意味します。
よって、
閉領域で関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されない場合には、
その閉領域内に、
ｆ（ｘ）が不連続になる点ｘ＝ｘｇ
が存在する事を意味します。
（最大値の定理の対偶の定理の証明おわり）
（補足）
以上の証明の中で出てきた、
（ｘ≠ｘｇでは）有限の値Mに制限される極限値があっても、
ｘ＝ｘｇの場合のｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されない関数とは、
例えば、大学の数学で学ぶ、ディラックのデルタ関数というものがあります。
ディラックのデルタ関数はδ（ｘ）と表現され、
x≠０のとき: δ（ｘ）＝０
ｘ＝０のとき： δ（ｘ）＝無限大（有限の値Mに制限されない）
そして、
ｘのー１から１の範囲で定積分すると：
（最大値の定理の証明のポイント）
以上の、最大値の定理の証明のポイントは、関数ｆ（ｘ）の定義される区間内の関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されない場合を詳しく調べた、定理の対偶の定理を証明した事にあります。
関数値ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されないという事は、
（１）ｆ（ｘ）の値が有限の値Mに制限されない区間がある場合は、ｆ（ｘ）の値が制限されない区間の幅を無限に狭め、その無限に狭めた区間を少なくとも１点に収束させる極限がある事を確認した事。
（２）そして、その収束した極限の点ｘｇでは、関数ｆ（ｘ）が不連続になる事をしらべた事が、最大値の定理の証明のポイントです。
よって、この対偶が成り立ち：
閉区間で連続である関数においては、ｆ（ｘ）が有限の値Mに制限されないという事が無いのです。
（備考１）
なお、下図の様に、少なくとも１つの端（ｘ＝ａ）が開区間で連続な関数については、そのｘ＝ａとなる点が無限に発散する点になり得るので、ｆ（ｘ）がｘ＝ａの極限で無限に発散する場合があり得ます。
【閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理】を、閉区間の連続関数は一様連続であり、開区間の関数は一様連続で無いという、関数の本質的な性質を使って証明しています。小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」の85ページにその証明が書いてありますので、是非、一読する事をお勧めします。
小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」で学ぶならば、微分積分が無駄なく勉強できて良いと思います。
（一様連続性と最大値・最小値の定理の関係）
こうして証明できた、閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理によって、
f(x)が連結な閉区間ａ≦ｘ≦ｂで１つながりに連続な関数であれば、ｆ(x)の値はある最大値と最小値の間の値に限られている。
その、最大値と最小値の間の値に限られている、閉区間で連続な関数ｆ（ｘ）の領域を以下の図の様に２等分する。
そして、分割された領域毎に、関数の最大値と最小値の差Δを考え、全分割領域での、差Δの最大値Δ２を抽出する。
関数ｆ（ｘ）が連続関数の場合は、その差の最大値Δ２は、分割前の領域での関数の最大値と最小値の差Δ１よりも小さくなる。
更に、各領域を２等分する。
そして、分割された領域毎に、関数の最大値と最小値の差Δを考え、全分割領域での、差Δの最大値Δ３を抽出する。
関数ｆ（ｘ）が連続関数の場合は、その差の最大値Δ３は、分割前の領域での差の最大値Δ２よりも小さくなる。
更に、各領域を２等分する操作を繰り返し、
差の最大値Δ４、Δ５、Δ６・・・
を求めて行く。
すると、関数ｆ（ｘ）が連続関数の場合は、領域を分割する毎に、全分割領域での差の最大値Δｎは無限に小さくなって行く。
（もし関数の最大値と最小値の差Δｎが無限に小さくならない点があったならば、その点は連続では無い点である。連続関数ｆ（ｘ）には、そのような点は無い。）
（一様連続性）
以上の様に、ある関数f(x)の各分割領域を更に２分の１に分割する操作をｎ回繰り返していき、各分割領域の関数f(x)の最大値と最小値の差（関数の値のばらつき）Δを求める。
（１）そのとき、全ての分割領域での関数の値のばらつきΔの最大値Δｎが有限の値で存在すること。
（２）この操作を繰り返して分割領域を無限に小さくすると、
全ての分割領域での関数の値のばらつきの最大値Δnが、無限に小さくなって行く。
（すなわち、全ての分割領域での関数の値のばらつきがΔnより小さく、そのΔnが無限に小さくなっていく）
これが成り立つ関数f(x)の性質を「一様連続」であると言います。
（一様連続の説明おわり）
その様に無限に小さい差Δｎは、関数ｆ（ｘ）の値の総和（リーマン積分）への影響が無限に小さいため、この関数ｆ（ｘ）は、リーマン積分が可能です。
小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」の85ページが、
【閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理】を、閉区間の連続関数は一様連続であり、開区間の関数は一様連続で無いという性質を使って証明しているのは、一様連続性が、最大値・最小値の定理が成り立つ根本的な原因であるという数学的視点が大事である事を教えたいからではないかと考えます。是非、一読をお勧めします。
リンク：
高校数学の目次
