やさしい微分積分
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〔関数とは何か〕
微分とは何かを理解するために、先ずは「関数」について説明します。
《1.1 関数の定義(definition of function)》
2 つの集合の間の関係を決める規則を関数といいます.ここでは,実数の集合を考えます.
Rを実数全体の集合とします.
ある実数の集合D に属する各数x に対して,実数y が1 つ定まるような規則 f を、
D からR への1 価関数(single-valued function),または、1変数(の1価)関数、または単に関数といいます.
すなわち、「ある装置にxを入力すると、それに応じた数yが出力されるとき、そのy=f(x)を与える装置f( )を関数と呼びます」。
「関数」の定義では、正しくは、所定の関数を定める(所定の関数を定義する)場合に、関数のグラフの形(演算)を自由に定めるのと同時に、装置 f( ) のかっこの中に入れられる数が何と何であるかを定めることで関数が定まる。
関数f(x)=x2というように、数xを使った演算式によって、関数 f( ) が出力する数値を与える演算を定めることが必要である。それだけではなく、その関数 f( ) のかっこの中に入れることができる数xが何と何であるかを定めることで関数が定まる。
《独立変数xと従属変数y 》
y=f(x)
というように、関数 f( ) に入力する数xを「独立変数」と呼び、関数 f( ) から出力される数yを「従属変数」と呼ぶ。
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〔関数とは何か〕
微分とは何かを理解するために、先ずは「関数」について説明します。
《1.1 関数の定義(definition of function)》
2 つの集合の間の関係を決める規則を関数といいます.ここでは,実数の集合を考えます.
Rを実数全体の集合とします.
ある実数の集合D に属する各数x に対して,実数y が1 つ定まるような規則 f を、
D からR への1 価関数(single-valued function),または、1変数(の1価)関数、または単に関数といいます.
すなわち、「ある装置にxを入力すると、それに応じた数yが出力されるとき、そのy=f(x)を与える装置f( )を関数と呼びます」。
「関数」の定義では、正しくは、所定の関数を定める(所定の関数を定義する)場合に、関数のグラフの形(演算)を自由に定めるのと同時に、装置 f( ) のかっこの中に入れられる数が何と何であるかを定めることで関数が定まる。
関数f(x)=x2というように、数xを使った演算式によって、関数 f( ) が出力する数値を与える演算を定めることが必要である。それだけではなく、その関数 f( ) のかっこの中に入れることができる数xが何と何であるかを定めることで関数が定まる。
《独立変数xと従属変数y 》
y=f(x)
というように、関数 f( ) に入力する数xを「独立変数」と呼び、関数 f( ) から出力される数yを「従属変数」と呼ぶ。
(定義域が異なる関数は、異なる関数)
関数f( ) のかっこの中に入れられる数xが何と何であるかを定める。そうして定めた数xの集合を、関数 f( ) の「定義域」と呼ぶ。
関数 f( ) の出力する数yの集合を、関数 f( ) の「値域」と呼ぶ。
関数は独立変数xの定義域の集合の要素の各数に対して関数値f(x)を対応付けさせる規則の事です。そのため、関数 f( ) を独立変数xで演算する演算の式が同じであっても、定義域が異なれば異なる関数です。つまり、関数 f( ) が、独立変数xの定義域の数だけ複数の関数が作れる。
《定義域の表現》
「次の関数の最大値と最小値を求めよ。
」
という表現での(ー1≦x≦4)が関数の定義域をあらわす。
《グラフの傾き》
放物線のグラフの傾きを考える。
上図で、直線ABの傾きは、独立変数xの増加に対する従属変数yの増加の比であらわされる。その直線ABに平行な直線を書いていくと、放物線に点Cで接する直線DEが描ける。直線DEの傾きは直線ABの傾きと同じである。放物線の、点Cでの傾きは、微小なxの増加に対する放物線の微小なyの増加の比であって、直線DEの傾きと同じである。
リンク:
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逆関数や合成関数の概念
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